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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 269: Differentialgleichung zweiter Ordnung, Potenzreihenansatz

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Lösen Sie die Differentialgleichung

$\displaystyle u'' + \frac{2}{t}u'+u=0 $

mit dem Ansatz $ u(t)=\sum\limits_{j=0}^\infty c_j \, t^{\lambda + j}$. Bestimmen Sie dazu die charakteristischen Exponenten $ \lambda_j$, die Rekursion für die Koeffizienten und die explizite Form der zugehörigen Lösungen.

Lösung:
Die charaktristische Gleichung hat für $ j=-2$ die aufsteigend sortierten Lösungen
$ \lambda_1=$
$ \lambda_2=$.

Damit lautet für $ \lambda_1$ die Rekursion der Koeffizienten
$ c_{j+2}=$$ c_{j+1}+$ $ \Big/ \Big(\big(j+\ $ $ \big) \big(j+\ $ $ \big)\Big) c_j$
und die Lösung
keine Angabe , $ \displaystyle a\frac{\sin t}{t}$ , $ a\sin t$ , $ a t \sin t$ , $ \displaystyle b\frac{\cos t}{t}$ , $ b\cos t$ , $ b t \cos t$ .

Für $ \lambda_2$ lautet die Rekursion der Koeffizienten
$ c_{j+2}=$$ c_{j+1}+$ $ \Big/ \Big(\big(j+\ $ $ \big) \big(j+\ $ $ \big)\Big) c_j$
und die Lösung
keine Angabe , $ \displaystyle a\frac{\sin t}{t}$ , $ a\sin t$ , $ a t \sin t$ , $ \displaystyle b\frac{\cos t}{t}$ , $ b\cos t$ , $ b t \cos t$ .

Die Einträge im Nenner bitte aufsteigend sortiert angeben.


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 1998)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017