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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 283: Konstruktion einer parameterabhängigen Ebene, Schnitt Ebene-Kegel


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#./interaufg283.tex#Stellen Sie die Ebene durch $ (0,1,0)$ senkrecht zu $ (0,\cos t, \sin t)^{\operatorname t}$ in parametrischer Form

$\displaystyle x=p+ru+sv(t), \quad \vert u\vert=\vert v\vert=1, \quad u \perp v$

dar.
Bestimmen Sie die Gleichung $ f(r,s) =0$ der Schnittkurve der Ebene mit dem Kegel

$\displaystyle K:\, x_1^2+x_2^2=x_3^2 $

in dem durch $ u,v$ definierten Koordinatensystem und deren Typ für $ t=\frac{\pi}{4}$ und $ t = \pi$.

Antwort:
Für die Darstellung der Ebene eignen sich die aufspannenden Vektoren
keine Angabe ,

$ u=\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\,,$ $ v=\left(\begin{array}{r}0\\ -\sin t\\ \cos t\end{array}\right)$ ,
$ u=\left(\begin{array}{r}0\\ \cos t\\ \sin t\end{array}\right)\,,$ $ v=\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ,
$ u=\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\,,$ $ v=\left(\begin{array}{r}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ .

$ f(r,s)=$ keine Angabe ,

$ (r\cos t)^2+(s\sin t)^2$ $ =$ 0 ,
$ r^2+s^2(\sin^2 t-\cos^2 t)+1$ $ =$ 0 ,
$ r^2+s^2(\sin^2 t-\cos^2 t)-2s\sin t+1$ $ =$ 0 ,
$ r^2+rs\sin t\cos t-\sin t(r-2s)+2$ $ =$ 0 .

Für $ t=\frac{\pi}{4}$ ergibt sich als Schittkurve eine
keine Angabe , Ellipse , Parabel , Hyperbel ,

und für $ t = \pi$ handelt es sich um eine
keine Angabe , Ellipse , Parabel , Hyperbel .


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 1998)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017