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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 291: Homogene lineare Differentialgleichung vierten Grades

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a)Gegeben sei die Differentialgleichung

$\displaystyle y^{(4)}+2y'''-2y''-6y'+5y=0.$ (1)

a)
Stellen Sie das charakteristische Polynom der Gleichung (1) auf und berechnen Sie dessen Nullstellen. Geben Sie die allgemeine reelle Lösung von (1) an.
b)
Welche Lösung $ y$ von (1) erfüllt $ y(0)=0$, $ y(\frac{\pi}{2})=1$ und $ {\displaystyle{\lim_{x\to\infty} y(x)=0}}$?
Berechnen Sie $ {\displaystyle{\int y(x)\, dx}}$ und $ {\displaystyle{\int_0^\infty y(x)\, dx}}$.
c)
Bestimmen Sie mit Hilfe spezieller Ansätze eine Lösung der inhomogenen Gleichung

$\displaystyle y^{(4)}+2y'''-2y''-6y'+5y=1+{\rm {e}}^{-x}. $

Lösung:
a)
Charakteristisches Polynom: $ p(\lambda)=$ $ \lambda^4+$ $ \lambda^3+$ $ \lambda^2+$$ \lambda+$.

Nullstellen von $ p(\lambda)$: $ \lambda_{1/2}=$     $ \lambda_{3/4}=$$ \pm$$ \cdot$ i.

Allgemeine Lösung von (1): $ c1,...,c4\in\mathbb{R}$

keine Angabe
$ y(x)=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}+c_3e^{\lambda_3x}+c_4e^{\lambda_4x}$
$ y(x)=c_1e^{\lambda_1x}+c_2xe^{\lambda_2x}+c_3e^{\mathrm{Re}(\lambda_3)x}\sin(\... ...rm{Im}(\lambda_3)x)+c_4e^{\mathrm{Re}(\lambda_3)x}\cos(\mathrm{Im}(\lambda_3)x)$
$ y(x)=c_1e^{\lambda_1x}+c_2xe^{\lambda_2x}+c_3e^{\mathrm{Re}(\lambda_3)x}+\sin(... ...m{Im}(\lambda_3)x)+c_4e^{\mathrm{Re}(\lambda_3)x}+\cos(\mathrm{Im}(\lambda_3)x)$
$ y(x)=c_1e^{\lambda_1x}+c_2xe^{\lambda_2x}+c_3x^2e^{\lambda_3x}+c_4x^3e^{\lambda_4x}$

b)
Spezielle Lösung: $ c_1=$    $ c_2=$

keine Angabe
$ c_3= \pi^e$
$ c_3= e^{-2\pi\mathrm{i}}$
$ c_3= \pi\cdot e$
$ c_3= e^\pi$
$ c_4=$

$ {\displaystyle{\int_0^\infty y(x)\, dx}}=$
keine Angabe
$ -\frac{\pi^e}{5}$
$ \frac{\pi^e}{2}$
$ \frac{e^\pi}{2}$
$ \frac{e^\pi}{5}$

c)
Partikuläre Lösung: $ y_p(x)=1\Big/$+$ 1\Big/$ $ \cdot e^{-x}$.

   
(Aus: Prüfung HM I/II Kimmerle H02)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017