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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 293: Euklidische Normalform einer Quadrik

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Die Quadrik $ Q_1$ im $ \mathbb{R}^3$ sei gegeben durch die Gleichung

$\displaystyle Q_1:\, x_1^2+20x_3^2+12x_1x_2+12x_1x_3+24x_2x_3-14x_2+7x_3-7=0. $


a)
Schreiben Sie $ Q_1$ in Matrixform

$\displaystyle Q_1:\, x^{\rm {t}}Ax+2a^{\rm {t}}x+c = 0, $

mit einer symmetrischen Matrix $ A$ und $ x=(x_1, x_2, x_3)^{\rm {t}}$.

Zeigen Sie, daß $ v_1=(2, 3, 6)^{\rm {t}}$ ein Eigenvektor von $ A$ zum Eigenwert $ \lambda_1$ ist. Berechnen Sie alle weiteren Eigenwerte von $ A$.

b)
Geben Sie die euklidische Normalform der Quadrik $ Q_2: \, x^{\rm {t}}Ax=0$ an und bestimmen Sie eine orthogonale Matrix $ T$, so daß $ T^{\,\rm {t}}AT$ Diagonalgestalt besitzt.
Skizzieren Sie $ Q_2$ im Koordinatensystem der Normalform.
c)
Berechnen Sie die euklidische Normalform von $ Q_1$. Um welchen Typ von Quadrik handelt es sich?

Antwort:

a)
$ Av_1=\lambda_1v_1\qquad\lambda_1=$

Charakteristisches Polynom: $ \chi_A(\lambda)=$ $ \lambda^3\, + $ $ \lambda^2\, +$ $ \lambda\, +$ .

Eigenwerte: $ \lambda_2<\lambda_3$         $ \lambda_2=$          $ \lambda_3=$

b)
Eigenvektoren:

zum Eigenwert $ \lambda_2$: $ v_2=\Big(3,$ , $ \Big)^{\operatorname t}$.

zum Eigenwert $ \lambda_3$: $ v_3=\Big($, , $ 3\Big)^{\operatorname t}$.

Transformationsmatrix:
$ T=1\Big/$ $ \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
2
3
6
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ mit $ T^{\,\rm {t}}AT= \left(\begin{array}{ccc} \lambda_1&0&0\\ 0&\lambda_2&0\\ 0&0&\lambda_3 \end{array}\right)$.

Normalform von $ Q_2$:      $ y_1^2\, +$ $ y_2^2\, +$ $ y_3^2=0$.

Die Quadrik $ Q_2$ ist ein:
Elliptisches Paraboloid Hyperbolisches Paraboloid
Paar schneidender Ebenen Ellipsoid

c)
Nach Transformation der linearen Terme erhält man:

$ Q_1:$ $ y_1^2\, +$ $ y_2^2\, +$ $ y_3^2\, +$ $ y_1\, +$ $ y_2\, +$ $ y_3\, +$ $ =0$.


Nach quadratischem Ergänzen erhält man:

$ Q_1:$ $ z_1^2\, +$ $ z_2^2\, +$ $ z_3^2\, +$ $ z_1\, +$ $ z_2\, +$ $ z_3\, +$ $ =0$.


Die Quadrik $ Q_1$ ist ein:
Elliptisches Paraboloid Hyperbolisches Paraboloid
Paar schneidender Ebenen Ellipsoid


   

(Aus: Prüfung HM I/II Kimmerle H02)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017