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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 301: Kurvendiskussion einer periodischen Funktion

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei die Funktion $ {\displaystyle{f(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\cos(\pi x)+2}\,.}}$

a)
Untersuchen Sie $ f$ auf Symmetrie und Periodizität.

Das Schaubild von $ f$ ist     
keine Angabe
punktsymmetrisch zum Ursprung
achsensymmetrisch zur $ y$-Achse
weder punkt- noch achsensymmetrisch

$ f$ ist     
keine Angabe
nicht periodisch
periodisch
    		 mit der Periodenlänge     

b)
Berechnen Sie alle Nullstellen von $ f$ im Intervall $ [0,2)$. Beginnen Sie mit dem kleineren Wert für $ x$.

$ N_1$: $ \Big($ $ \Big\vert\quad 0\quad \Big)$          $ N_2$: $ \Big($ $ \Big\vert\quad 0\quad \Big)$

c)
Berechnen Sie die Ableitung von $ f$.
$ f'(x)\ =\ $
$ \pi\big($$ +$ $ \cos\pi x\big)$
_______________________________________________________________
$ \big($ $ +\cos\pi x\big)^2$

d)
Berechnen Sie alle Extrempunkte von $ f$ im Intervall $ [0,2)$, und geben Sie an, ob es sich um lokale Maxima oder Minima handelt.


Geben Sie die Extremstellen in aufsteigender Reihenfolge an ($ x_1<x_2$).

$ E_1$: $ \Big(\ x_1\ \Big\vert\ y_1\ \Big)$, $ x_1=$$ \Big/3$, $ y_1^2=1\Big/$     $ E_1$ ist
keine Angabe
lokales Maximum
lokales Minimum
 
$ E_2$: $ \Big(\ x_2\ \Big\vert\ y_2\ \Big)$, $ x_2=$$ \Big/3$, $ y_2^2=1\Big/$     $ E_2$ ist
keine Angabe
lokales Maximum
lokales Minimum
 

e)
Bestimmen Sie eine Stammfunktion $ F$ von $ f$.
keine Angabe
$ F(x)\ =\ -\frac{1}{\pi}\ln(\sin(\pi x))$
$ F(x)\ =\ -\frac{1}{\pi}\ln(\cos(\pi x+2))$
$ F(x)\ =\ -\pi\ln(\sin(\pi x))$
$ F(x)\ =\ -\pi\ln(\cos(\pi x+2))$

f)
Berechnen Sie die folgenden Integrale:


$ {\displaystyle{\int_{-{\rm {e}}}^{\rm {e}} f(x)\,dx}} \ = \ $

$ \displaystyle{\int_{234}^{235} f(x)\,dx} \ = \ $
keine Angabe
$ =\ -\frac{\ln 2}{\pi}$
$ =\ -\pi\ln 2$
$ =\ \frac{\ln 3}{\pi}$
$ =\ \pi\ln 3$


   

(Aus: Prüfung HM I/II Kimmerle H02)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017