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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 302: Homogenes lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung, Jordan-Normalform

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei das Differentialgleichungssystem $ Y'=AY$ mit

$\displaystyle A= \left(\begin{array}{rrr} -5 & 1 & 4 \\ 3 & -1 & -3 \\ -7 & 1 & 6 \end{array}\right).$

a)
Die Matrix $ A$ besitzt $ -1$ und $ 2$ als einzige Eigenwerte. Bestimmen Sie die Jordan- Normalform $ J$ von $ A$ und geben Sie eine Transformationsmatrix $ T$ an, so daß
$ T^{-1}AT=J$ gilt.

b)
Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung des Systems.

c)
Bestimmen Sie die spezielle Lösung $ Y_0$ des Systems mit

$\displaystyle \lim\limits_{x\to -\infty} Y_0(x)= \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ... ...{\mbox{und}} \qquad Y_0(0)=\left(\begin{array}{r}1\\ -1\\ 2\end{array}\right). $

Die Lösung $ Y_0$ beschreibt eine Kurve im $ \mathbb{R}^3$. Berechnen Sie den Abstand dieser Kurve von dem Punkt $ P=(1,0,0)$.

Lösung:

a)
Charakteristisches Polynom:     $ \lambda^3+$ $ \lambda^2+$$ \lambda+$.

Eigenwerte:     $ \lambda_{1/2}=$,     $ \lambda_3=$.

Eigenvektoren:

zu $ \lambda_{1/2}$:    $ \Big($ 1 ,, $ \Big)^{\operatorname t}$

zu $ \lambda_3$:    $ \Big($ 1 ,, $ \Big)^{\operatorname t}$

Jordan-Normalform:
$ J=\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
0 0
0
0 0
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$
Transformationsmatrix:
$ T=\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 1$ $ 1$ 0
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

b)
Allgemeine reelle Lösung:
$ Y=c_1e^{2x}\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ $ +c_2e^{-x}\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ $ +c_3e^{-x}\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ x$
$ x$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

c)
Spezielle Lösung:    $ c_1=$     $ c_2=$    $ c_3=$

Der Abstand der Kurve von $ P$ im Quadrat: $ d^2=$$ \Big/6$.


   

(Aus: Prüfung HM I/II Kimmerle H02)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017