Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 31: Homogenes lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei das lineare Differentialgleichungssystem

$\displaystyle y'=Ay $

mit

\begin{displaymath}y=\left( \begin{array}{c} y_1\\ y_2\\ y_3 \end{array}\right... ...-13 &8 &12\\ 8 &-21 &4\\ 12 &4 &-11\\ \end{array}\right)\,. \end{displaymath}

Bestimmen Sie die Eigenwerte $ z_1$ -$ z_3$ von A und geben Sie diese mit aufsteigenden Beträgen und danach mit aufsteigenden Argumenten ( $ \in [0,2\pi)$ ) sortiert ein.

$ z_1=$ $ +$ i $ z_2=$ $ +$ i $ z_3=$ $ +$ i

Bestimmen Sie zu jedem der Eigenwerte $ z_i$ je einen Eigenvektor $ v_i$ .

$ v_1 = \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ +$ i
$ +$ i
$ 2+0$ i
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$

$ v_2 = \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ +$ i
$ 2+0$ i
$ +$ i
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$

$ v_3 = \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ 2+0$ i
$ +$ i
$ +$ i
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$

Geben Sie an, welcher Ansatz zur reellen Lösung des Differentialgleichungssystems für das Fundamentalsystem gewählt werden muß.

keine Angabe  
Ansatz 1 $ w_1(x)=e^{z_1x}v_1$ ;
  $ w_2(x)=e^{\operatorname{Re}(z_2)x} (\operatorname{Re}(v_2) \cos(\operatorname{Im}(z_2)x) - \operatorname{Im}(v_2) \sin(\operatorname{Im}(z_2)x)$ ;
  $ w_3(x)=e^{\operatorname{Re}(z_3)x} (\operatorname{Im}(v_3) \cos(\operatorname{Im}(z_3)x) + \operatorname{Re}(v_3) \sin(\operatorname{Im}(z_3)x)$ ;
Ansatz 2 $ w_1(x)=e^{z_1x}v_1$ ;
  $ w_2(x)=e^{z_2x}v_2$ ;
  $ w_3(x)=e^{z_3x}v_3$
Ansatz 3 $ w_1(x)=e^{z_1x}v_1$ ;
  $ w_2(x)=e^{z_2x}(xv_1+v_2)$ ;
  $ w_3(x)=e^{z_3x}v_3$

Bestimmen Sie die Konstanten $ c_1$ -$ c_3$ so, daß

$\displaystyle w=c_1w_1+c_2w_2+c_3w_3 $

das Anfangswertproblem

\begin{displaymath}w(0)=\left( \begin{array}{r} 3\\ -6\\ 0\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

löst.

$ c_1=$ $ c_2=$ $ c_3=$


   

(Autor: Andreas App)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017