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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 329: Homogenes lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung, Jordan-Normalform

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei das Differentialgleichungssystem $ Y'=AY$ mit

$\displaystyle A= \left(\begin{array}{rrr} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & -1 \end{array}\right).$

a)
Bestimmen Sie die Jordan-Normalform $ J$ von $ A$ und geben Sie eine Transfor-
mationsmatrix $ T$ an, so daß $ T^{-1}AT=J$ gilt.

b)
Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung des Differentialgleichungssystems.

c)
Wie lautet die Jordan-Normalform von $ A^2 \ \ ?$

Lösung:

a)
Charakteristisches Polynom:         $ \lambda^3+$ $ \lambda^2+$$ \lambda+$

Eigenwerte:         $ \lambda_{1/2}=$         $ \lambda_3=$

Eigenvektoren:

zu $ \lambda_{1/2}$:

$ \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 2$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$
zu $ \lambda_3$:

$ \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 2$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$
Hauptvektor:
$ \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 2$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$
Jordan-Normalform:
$ J=\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
0
0 0
0 0
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

b)
Allgemeine reelle Lösung:

$ Y=c_1e^{\lambda_{1/2}}\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 2$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)+ c_2e^{\lambda_{1/2}}\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ x+2$
$ x+$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)+ c_3e^{\lambda_3}\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

c)
Jordan-Normalform von $ A^2$:
$ \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
0
0 0
0 0
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

   
(Aus: Prüfung HM I/II Kimmerle F03)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017