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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 330: Schnitt zweier Ebenen, Matrixdarstellung einer Projektion, Abstand einer Geraden vom Ursprung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Im $ \mathbb{R}^3$ sei $ E_1$ die Ebene durch die Punkte

$\displaystyle A = (3,-2,0), B = (1,-1,2), C = (-1, 0, 1) $

und $ E_2$ die Ebene mit der Gleichung

$\displaystyle x_1 + x_2 + x_3 = 1 .$

a)
Bestimmen Sie eine Gleichungsdarstellung von $ E_1 .$

$ E_1:$    $ x_1+$$ x_2+$$ x_3=-1$

b)
Berechnen Sie eine Parameterdarstellung von $ E_1 \cap E_2 .$
$ x=\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
0
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)+\lambda \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

c)
Sei $ \pi $ die Projektion von $ \mathbb{R}^3$ in Richtung des Vektors

$\displaystyle v = \left(\begin{array}{c} -2 , 1, 1 \end{array}\right)^\mathrm{t} $

auf die Ebene $ E_3 ,$ die durch den Ursprung geht und senkrecht zur Projektionsrichtung ist. Bestimmen Sie die Matrixdarstellung von $ \pi $ bzgl. des kanonischen Koordinatensystems $ \{O ; (1,0,0)^{\mathrm{t}}, (0,1,0)^{\mathrm{t}}, (0,0,1)^{\mathrm{t}} \} .$

$ \pi(v)=\dfrac{1}{6}\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)\ v$

d)
Berechnen Sie $ \pi(E_1 \cap E_2)$ und bestimmen Sie den Abstand $ d$ von $ E_1 \cap E_2$ vom Ursprung.

$ d=$$ \Big/$        (vollständig gekürzt)


   
(Aus: Prüfung HM I/II Kimmerle F03)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017