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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 345: Potential eines parameterabhängigen bivariaten Vektorfeldes, Klassifizierung von Kegelschnitten

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Gegeben ist das Vektorfeld

$\displaystyle \vec{F}= \left(\begin{array}{c} \displaystyle{\frac{2x}{1+y^2}} \\ \displaystyle{\frac{2y - \alpha x^2y}{(1+y^2)^2}} \end{array} \right). $

a)
Bestimmen Sie $ \alpha = \alpha^{\ast}$ so, dass $ \vec{F}$ ein Potential $ \varphi$ besitzt und bestimmen Sie dieses. Wählen Sie dabei die Integrationskonstante $ C$ so, dass $ \varphi(0,0)=0$.
b)
Die Äquipotentiallinien

$\displaystyle K_c:\quad \varphi(x,y)=c $

sind Kegelschnitte. Bestimmen Sie den Typ von $ K_c$ (Ellipse, Parabel usw.) in Abhängigkeit vom Parameter $ c \ge 0$.

Antwort:

a)
$ \alpha^{\ast}=$ ,         $ C=$ ,         $ \varphi(x,y)=($$ x^2+$$ y^2)/($$ +$$ y^2)$
b)
Typ des Kegelschnittes:
$ c=0$: keine Angabe , Punkt , zwei parallele Geraden , Hyperbel , Ellipse .
$ 0<c<1$: keine Angabe , Punkt , zwei parallele Geraden , Hyperbel , Ellipse .
$ c=1$: keine Angabe , Punkt , zwei parallele Geraden , Hyperbel , Ellipse .
$ c>1$: keine Angabe , Punkt , zwei parallele Geraden , Hyperbel , Ellipse .

   
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 1991)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 12.  3. 2018