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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 349: Entwicklung von Marktanteilen, Eigenwerte und Eigenvektoren der Übergangsmatrix, Asymptotik

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Die Umsätze zweier rivalisierender Firmen entwickeln sich wie folgt:

In jedem neuen Jahr werden $ 3/4$ des bisherigen eigenen Umsatzes und $ 1/4$ des bisherigen Umsatzes der konkurrierenden Firma eingenommen.

a)
Stellen Sie die zugehörige Übergangsmatrix $ M$ auf.
b)
Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von $ M$.
c)
Im ersten Jahr habe die erste Firma keinen Umsatz (Neugründung). Nach wievielen Jahren ist die Differenz der Umsätze der beiden Firmen zum erstenmal auf weniger als 1% des Gesamtumsatzes gesunken?

Antwort:
a) $ M=\frac{1}{4}\left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$
b) Eigenwerte und Eigenvektoren:
$ \lambda_1=1/$,         $ v_1=\left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$
$ \lambda_2=$ ,         $ v_2=\left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$
c) nach Jahren
   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 1991)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 12.  3. 2018