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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 349: Entwicklung von Marktanteilen, Eigenwerte und Eigenvektoren der Übergangsmatrix


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Die Umsätze zweier rivalisierender Firmen entwickeln sich wie folgt:

In jedem neuen Jahr werden $ 3/4$ des bisherigen eigenen Umsatzes und $ 1/4$ des bisherigen Umsatzes der konkurrierenden Firma eingenommen.

a)
Stellen Sie die zugehörige Übergangsmatrix $ M$ auf.
b)
Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von $ M$.
c)
Im ersten Jahr habe die erste Firma keinen Umsatz (Neugründung). Nach wievielen Jahren ist die Differenz der Umsätze der beiden Firmen zum erstenmal auf weniger als 1% des Gesamtumsatzes gesunken?
Lösung:
a)
$ M=\frac{1}{4}\left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$

b)
Die Eigenwerte und Eigenvektoren sind:
$ \lambda_1=1/$,
$ v_1=\left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$
und
$ \lambda_2=$,
$ v_2=\left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$
c)
Nach Jahren.

   
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 1991)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017