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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 353: Fluss durch Oberfläche eines Zylinders, Zerlegung eines Vektorfeldes in radiale, axiale und vertikale Komponenten


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Gegeben seien Zylinderkoordinaten $ (x,y,z)=(\rho\,\cos \varphi,\,
\rho\,\sin \varphi,\,z)$ sowie für $ (x,y) \ne (0,0)$ das Vektorfeld

$\displaystyle p(x,y,z)=\left(\frac{y}{x^2+y^2},\;\frac{-x}{x^2+y^2},\;z\right)^t
$

a)
Zerlegen Sie das Feld $ p$ in eine radiale, axiale und vertikale Komponente, d.h. bestimmen Sie skalare Funktionen $ f(\rho,\varphi,z),\,g(\rho,\varphi,z)$ und $ h(\rho,\varphi,z)$ so, daß

$\displaystyle p= f e_{\rho} + g e_\varphi + h e_z\ ,
$

wobei $ e_{\rho} = (\cos \varphi, \sin \varphi,0)^t, \; e_\varphi= (-\sin \varphi, \cos
\varphi,0)^t, \; e_z =(0,0,1)^t$ die Basisvektoren in Zylinderkoordinaten sind.

b)
Berechnen Sie den Fluss $ \Phi$ von $ p$ durch die Oberfläche des Zylinders

$\displaystyle Z:\,\,x^2+y^2 \leq r^2,\ 0 \leq z \leq s, \qquad r,s>0
$

von innen nach außen.
Hinweis: Der Satz von Gauß ist hier nicht anwendbar, da das Vektorfeld nicht im gesamten Inneren des Zylinders definiert ist.
Lösung:
a)
$ f=$,     $ g=$$ /$,     $ h=$.
b)
Der Fluss $ \Phi_{\mbox{B}}$ durch den Boden des Zylinders ist: $ \Phi_{\mbox{B}}=$.
Der Fluss $ \Phi_{\mbox{D}}$ durch den Deckel des Zylinders ist: $ \Phi_{\mbox{D}}=$$ r^2s$.
(Wert auf dritte Nachkommastelle runden.)
Der Fluss $ \Phi_{\mbox{M}}$ durch den Mantel des Zylinders ist: $ \Phi_{\mbox{M}}=$.
Der Fluss $ \Phi_{\mbox{ges}}$ durch die gesamte Oberfläche des Zylinders ist damit: $ \Phi_{\mbox{ges}}=$$ r^2s$.
(Wert auf dritte Nachkommastelle runden.)

   
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 1991)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017