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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 354: Homogene und inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, asymptotisches Verhalten

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Bestimmen Sie für die Differentialgleichung

$\displaystyle u^{\prime\prime}+u^\prime-2u=$e$\displaystyle ^{-2t} $

a)
die allgemeine Lösung $ u_h$ der homogenen Gleichung,
b)
die allgemeine Lösung $ u$ der inhomogenen Gleichung,
c)
eine Lösung $ \tilde u(t)$ mit $ \tilde u(0)=1$, welche für $ t \to +\infty$ beschränkt bleibt.

Antwort:

a)
Nullstellen des charakteristischen Polynoms: $ \lambda_1=$ $ \leq\lambda_2=$
$ u_h(t)=c_1$exp$ (t)+c_2$exp$ ($$ t)$ mit $ c_1,c_2\in\mathbb{R}$
b)
$ u(t)=c_1$exp$ (t)+c_2$exp$ ($$ t)-1/$ $ t$exp$ ($$ t)$ mit $ c_1,c_2\in\mathbb{R}$
c)
$ \tilde u(t)=($$ -1/$ $ t)$exp$ ($$ t)$

   
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 1991)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 12.  3. 2018