Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 378: Parameterabhängige Differentialgleichung, Exaktheit, integrierender Faktor

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben ist die Differentialgleichung

$\displaystyle (ax^4+bx^3)y-2x^2+x^4\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0\,,\quad a,b \in \mathbb{R}\,,\quad x >0 . $

Für welche Werte von $ a,b$ ist die

Differentialgleichung exakt?

$ a=$        $ b=$

Geben Sie die Differentialgleichung an, die ein nur von $ x$ abhängiger integrierender Faktor $ \mu(x)$ erfüllen muss:

$ \mu'(x)/\mu(x)=$ $ a+$$ b+$$ +\Big($ $ a+$$ b+$ $ \Big)\Big/x$

Geben Sie den integrierenden Faktor $ \mu(x)$ in Abhängigkeit von $ a$ und $ b$ an:

$ \mu(x)=$

keine Aussage
$ e^{b-4}x^{ax}$
$ e^{4-b}x^{ax}$
$ e^{ax}x^{b-4}$
$ e^{ax}x^{4-b}$

Für welche Werte von $ a,b$ wird die Differentialgleichung durch den integrierenden Faktor $ \mu_1(x)=e^x$ exakt?

$ a=$        $ b=$

Im Folgenden sei $ a=b=2$.

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung mit Hilfe des integrierenden Faktors

$\displaystyle \mu_2(x)=\frac{e^{2x}}{x^2}\,. $

Geben Sie die allgemeine Lösung in der Form $ F(x,y)=k=$konstant an.

$ F(x,y)=$ $ \Big($$ +$$ x+$$ y+$$ x^2y+$ $ xy^2\Big)e^{2x}=k$

Welchen Wert hat die Konstante $ k$ für die Lösungskurve $ K_1$ durch den Punkt $ P=(1,1)$?

$ k=$

Wie lautet die nach $ y$ aufgelöste, explizite Gleichung dieser Kurve $ K_1$?

 
$ y(x)=$$ x$  


   

(Aus: Prüfung HM III Kimmerle F03)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017