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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 384: Fluss durch eine Wendelfläche, Bogenlänge


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Die abgebildete Fläche $ S$ sei durch

$\displaystyle \left(\begin{array}{r}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{ar...
...}r \cos t\\ r \sin t\\ t\end{array}\right),
\,r \in [0,1],\,
t \in [0,2\pi]\
$

parametrisiert.

\includegraphics[width=.5\linewidth]{P360_pic.eps}

a)
Bestimmen Sie den Normalenvektor $ \vec{n}(r,t)$ von $ S$.

b)
Berechnen Sie den Betrag $ \vert\Phi\vert$ des Flusses des Vektorfelds $ \vec{F}=(y,-x,z)^t$ durch die Fläche $ S$.

c)
Die Randkurve der Fläche $ S$ besteht aus 3 Geradenstücken sowie der Schraubenlinie $ C:t \mapsto (\cos t,\sin t,t)^t$. Berechnen Sie die Länge L von $ C$.

Antwort:

a)
$ \vec{n}(r,t)=$
$ \left( \rule{0pt}{8ex}\right.$
(t)
- (t)
$ \left. \rule{0pt}{8ex}\right) $
b)
$ \vert\Phi\vert=$$ \pi$+$ \pi^2.$
c)
$ L=$ $ \sqrt{2}\pi$

   
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 1992)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017