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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 386: Parameterabhängiges lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Gegeben sei die von $ \varepsilon$ abhängige Matrix

$\displaystyle A_{\varepsilon}=
\left( \begin{array}{cc} 1+\varepsilon & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right) ,\quad \varepsilon \in \mathbb{R}
$

und das Anfangswertproblem

$\displaystyle u_{\varepsilon}' = A_{\varepsilon}\,u_{\varepsilon} \ ,\quad
u_{\varepsilon}(0)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right) \ .
$

a)
Bestimmen Sie die Eigenwerte $ \lambda_i$ und die Eigenvektoren $ v_i$ der Matrix $ A_{\varepsilon}$ für $ \varepsilon \ne 0$.

b)
Bestimmen Sie die Lösung $ u_{\varepsilon}$ des Anfangswertproblems für $ \varepsilon \ne 0$.

c)
Berechnen Sie $ \displaystyle{u_0(t)=\lim_{\varepsilon \to 0} u_{\varepsilon}(t)}$ und zeigen Sie, dass $ u_0(t)$ das Anfangswertproblem für $ \varepsilon=0$ löst.

Lösung:

a)
$ \lambda_1=$ $ +\varepsilon$, $ \lambda_2=$.
$ v_1=$
$ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \varepsilon$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right) $
,
$ v_2=$
$ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right) $
 
.

b)
$ u_{\varepsilon}(t)=$/ $ \varepsilon$
$ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \varepsilon$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right) $
$ e^{\lambda_1 t}-$/ $ \varepsilon$
$ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right) $
$ e^{\lambda_2 t}$ .

c)
$ u_0(t)=e^t$
$ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right) $


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 1992)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017