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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 389: Nullstellen eines komplexen Polynoms, Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
a)
Geben Sie die Lösungen der Gleichung

$\displaystyle z^3+(1-2\mathrm{i})z^2-(1+\mathrm{i})z=0$

sowohl in der Standardform $ z=x+\mathrm{i}y$ als auch in der Polarform $ z=re^{\mathrm{i}\varphi}$ an, mit $ r\geq0$ und $ \varphi\in[0,2\pi)$.
b)
Skizzieren Sie die Menge

$\displaystyle M = \left\{ z\in \mathbb{C} \ \big\vert \ z\bar{z}\geq 1 \quad \text{und} \quad \left\vert z^2-\bar{z}^2 \right\vert\leq 4 \right\} $

in der Gaußschen Zahlenebene.

Antwort:

a)
$ z_1$ = $ +\mathrm{i}$ $ =$ $ \exp\big(\mathrm{i}\pi$ $ \big)$
$ z_2$ = $ +\mathrm{i}$ $ =$ $ \exp\big(\mathrm{i}\pi$ $ \big)$
$ z_3$ = $ +\mathrm{i}$ $ =$ $ \exp\big(\mathrm{i}\pi$ $ \big)$

(Nach Betrag aufsteigend sortiert, auf drei Dezimalstellen gerundet)

b)
keine Angabe

       
\includegraphics[width=0.2\linewidth]{c3_bild4} \includegraphics[width=0.2\linewidth]{c3_bild1} \includegraphics[width=0.2\linewidth]{c3_bild3} \includegraphics[width=0.2\linewidth]{c3_bild2}

   
(Autor: Marco Boßle)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017