Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]

Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 408: Lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung mit Autonomen System


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Bestimmen Sie zwei linear unabhängige Lösungen der partiellen Differentialgleichung

$\displaystyle u_x+(ay+bz)u_y+(cy+dz)u_z=0$

mit

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{rr}3&5\\ 1&-1\end{array}\right).$

Die Differentialgleichung ist bereits reduziert (Rumpf DGL). Geben Sie das charakteristische System an.

$ x'(t)=$ $ +$ $ x$ $ +$ $ y$ $ +$ $ z$
$ y'(t)=$ $ +$ $ x$ $ +$ $ y$ $ +$ $ z$
$ z'(t)=$ $ +$ $ x$ $ +$ $ y$ $ +$ $ z$
Dieses System ist ein autonomes System. Berechnen Sie ein zugehöriges Phasen-DGL-System.

$ \frac{dy}{dx}=$ $ +$ $ y$ $ +$ $ z$  
$ \frac{dz}{dx}=$ $ +$ $ y$ $ +$ $ z$  

Berechnen Sie die Eigenwerte des Phasen-DGL-Systems.

$ \lambda_1\ =\ $ $ \quad<\quad\lambda_2\ =\ $.

Berechnen Sie die Eigenvektoren zu den Eigenwerten.

$ \lambda_1:\quad
v_1=\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
1
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)$          $ \lambda_2:\quad
v_2=\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
1
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)$

Lösung des Phasen-DGL-Systems:

$\displaystyle \left(\begin{array}{c}
y\\ z
\end{array}\right)=
c_1e^{\lambda_1x}v_1+c_2e^{\lambda_2x}v_2.
$

Lösen sie diese Lösung nach $ {c_1\choose c_2}$ auf.

$ \left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ c_1$
$ c_2$
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)\ =\
\dfrac{1}{6}
\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ e^{-\lambda_1x}$ $ e^{-\lambda_1x}$
$ e^{-\lambda_2x}$ $ e^{-\lambda_2x}$
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)
\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ y$
$ z$
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)$.

Die beiden linear unabhängigen Lösungen sind:

$ u_1\ =\ \exp\Big($ $ x\Big)y\ -\
$$ \exp\Big($$ x\Big)z$

$ u_2\ =\ \exp\Big($ $ x\Big)y\ +\
$$ \exp\Big($$ x\Big)z$


   

(Autor: Knödler)

siehe auch:


  automatisch erstellt am 10.  8. 2017