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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 410: Kurvenintegral und Potential

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Gegeben sei das Vektorfeld $ v_\alpha :\mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}^3$ durch

$\displaystyle v_\alpha(x,y,z)= \begin{pmatrix}(2-\alpha) y+ z \\ z+\alpha x \\ x+y \\ \end{pmatrix}$     

mit dem reellen Parameter $ \alpha$.
a)
Für welches $ \alpha=\alpha_0$ besitzt $ v_{\alpha_0}$ ein Potential?

$ \alpha_0=$

Berechnen Sie für $ \alpha$=$ \alpha_0$ dieses Potential.

$ \Phi(x,y,z) =$$ xy+$$ xz+$$ y^2+$$ yz$

b)
Es sei $ K$ der Schnitt des Zylinders $ x^2+y^2=1$ mit der Ebene $ x+z=1$. Geben Sie eine Parametrisierung von $ K$ an.

Kreuzen Sie die richtige Parametrisierung an.
keine Angabe    
$ x(t)=\begin{pmatrix}\cos t \\ \sin t \\ 1+ \cos t \end{pmatrix}\,, \quad t\in [0, 2\pi] $ $ x(t)=\begin{pmatrix}\cos t \\ \sin t \\ 1- \cos t \end{pmatrix}\,, \quad t\in [0, 2\pi] $
$ x(t)=\begin{pmatrix}\cos t \\ \sin t \\ 1+ \sin t \end{pmatrix}\,, \quad t\in [0, 2\pi] $ $ x(t)=\begin{pmatrix}\cos t \\ \sin t \\ 1- \sin t \end{pmatrix}\,, \quad t\in [0, 2\pi] $

c)
Bestimmen Sie mit Hilfe von a) den Wert des Kurvenitegrals $ \int_K v_{\alpha_0} \mathrm{d}x$.

$ \int_K v_{\alpha_0} \mathrm{d}x=$

d)
Berechnen Sie nun unter Verwendung von $ v_\alpha = v_{\alpha_0}+ w$ mit einem geeigneten Vektorfeld $ w$ das Kurvenintegral $ \int_K v_\alpha \mathrm{d}x $.

$ \int_K v_\alpha \mathrm{d}x=$ $ \pi(\alpha+$$ )$


   

(Aus: Prüfung HM III Kimmerle F03)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017