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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 417: Eindimensionale Wellengleichung, Fourier-Reihe

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
a)
Bestimmen Sie für $ n \in \mathbb{N}$ alle nicht-trivialen Lösungen der partiellen Differentialgleichung

$\displaystyle y_{xx} = 4y_{tt} $

welche die Form

$\displaystyle y_n(x,t)=\sin (nx) \cdot w(t) $

haben.
b)
Entwickeln Sie die Funktion $ f(x) = x$ im Intervall $ (-\pi,\pi)$ in eine Fourierreihe.
c)
Bestimmen Sie eine Folge $ (y_n(x,t))_{n \in \mathbb{N}}$ von Lösungen der partiellen Differentialgleichung

$\displaystyle y_{xx} = 4y_{tt} \ , $

für die die Anfangsbedingungen

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} y_n(x,0) = x \ \ \textrm{für}\ 0\leq x < \pi $

und

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} y_{n,t}(x,0) = \sin 2x \ \ \textrm{für}\ 0\leq x < \pi $

gelten. $ y_{n,t}(x,t)$ bezeichnet hierbei die partielle Ableitung von $ y_n(x,t)$ nach $ t .$

Lösung:

a)
Mit dem Ansatz $ y_n(x,t)=\sin nx\cdot w(t)$ erhält man die Gleichung

$ w_{tt}+n^2w=$

Das charakteristische Polynom dieser Gleichung lautet

keine Angabe
$ 4\lambda+n^2=0$
$ 4\lambda^2+n^2\lambda=0$
$ 4\lambda^2+n^2\lambda^2=0$
$ 4\lambda^2+n^2=0$

Kreuzen Sie die richtige Lösung für $ y_n(x,t)$ an.

keine Angabe
$ \sin nx\bigl(a_n\cos\left(\frac{n}{2}t\right)+ b_n\sin\left(\frac{n}{2}t\right)\bigr)$
$ \sin nx\bigl(a_ne^{\frac{n}{2}t}+b_ne^{-\frac{n}{2}t}\bigr)$
$ \sin nx\bigl(a_ne^{\frac{n^2}{4}t}+b_ne^{-\frac{n^2}{4}t}\bigr)$
$ \sin nx\bigl(a_n\cos\left(\frac{n}{4}t\right)+ b_n\sin\left(\frac{n}{4}t\right)\bigr)$

b)
$ f(x)$ ist
keine Angabe
gerade
ungerade
weder ungerade noch gerade

Welche Form hat die Fourierreihe?

keine Angabe
$ \displaystyle F(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty b_k\cos kx$
$ \displaystyle F(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty b_kx\cos kx$
$ \displaystyle F(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty b_k\sin kx$
$ \displaystyle F(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty b_kx\sin kx$

Wie berechnet man die Koeffizienten $ b_k$ ?

keine Angabe
$ \displaystyle b_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(kx)\ dx$
$ \displaystyle b_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi x\sin(kx)\ dx$
$ \displaystyle b_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\cos(kx)\ dx$
$ \displaystyle b_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi x\cos(kx)\ dx$

keine Angabe
$ \displaystyle b_k=0$
$ \displaystyle b_k=\frac{2}{k}(-1)^k$
$ \displaystyle b_k=\frac{2}{k^2}(-1)^k$
$ \displaystyle b_k=\frac{2}{k}(-1)^{k+1}$

c)
Kreuzen Sie die richtigen Werte für die Koeffizienten von $ y_n(x,t)$ an.

  keine Angabe 0 1 $ \pi$ $ -\frac{2}{n}$ $ \frac{2}{n}(-1)^{n+1}$
$ a_n$
$ b_n,n\ne2$
$ b_2$


   
(Aus: Prüfung HM III Kimmerle H03)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017