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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 418: Exakte Differentialgleichung und integrierender Faktor, Ellipsen

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Gegeben ist die Differentialgleichung

$\displaystyle p(x,y) + q(x,y) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = (5x^3-4x^2y)+(5x^2y-4x^3) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0 $

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen $ p_y$ und $ q_x$.

$ p_y=$$ xy+$$ x^2+$$ y$

$ q_x=$$ xy+$$ x^2+$$ y$

Die Differentialgleichung besitzt einen nur von einem Parameter abhängigen integrierenden Faktor. Der Parameter ist:

        keine Angabe     $ x$     $ y$ .

Welche Differentialgleichung muss der integrierende Faktor erfüllen?

$\displaystyle \mu'/\mu= $

keine Angabe
$ \frac{p_y-q_x}{p}$
$ \frac{q_x-p_y}{q}$
$ \frac{q_x-p_y}{p}$
$ \frac{p_y-q_x}{q}$

Geben Sie einen integrierenden Faktor an: $ \mu=$

keine Angabe
$ \frac{1}{x}$
$ \frac{1}{x^2}$
$ \frac{1}{y}$
$ \frac{1}{y^2}$

Geben Sie die allgemeine Lösung in der Form $ F(x,y)=k=$konstant an:

$ F(x,y)=k=$ $ 5x^2+$$ xy+$$ y^2$

Die nicht entarteten Lösungskurven sind Ellipsen. Geben Sie die Richtungen $ r_1$ und $ r_2$ der Hauptachsen sowie das Verhältnis $ a_1/a_2$ der Hauptachsenlängen an:

$ r_1=$$ \Big(1,$$ \Big)$

$ r_2=$$ \Big(1,-$$ \Big)$

$ \frac{a_1}{a_2}=$

Bestimmen Sie die Lösungskurve durch den Punkt $ P = (1,2) .$

$ 5x^2+$$ xy+$$ y^2=$

Bestimmen Sie alle Punkte, in denen die Lösungskurve durch den Punkt $ P = (1,2) $ eine zur Geraden $ y = x $ parallele Tangente besitzt.

$ x=\pm$$ \Big/$ $ \ \sqrt{\vphantom{\frac11}}$

$ y=\mp$$ \Big/$ $ \ \sqrt{\vphantom{\frac11}}$


   

(Aus: Prüfung HM III Kimmerle H03)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017