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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 420: Potentialfunktion

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Gegeben sei das von dem reellen Parameter $ \alpha$ abhängige Vektorfeld $ v=(v_1,v_2)^T$ mit

$\displaystyle v(x,y)= \left(\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, \frac{x^2+\alpha y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\right),\quad (x,y)\ne (0,0). $

a)
Zeigen Sie, dass $ v$ im Punkt $ (0,0)$ durch $ v(0,0)=(0,0)$ stetig ergänzbar ist.
b)
Für welches $ \alpha$ besitzt $ v$ in $ G = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \vert (x - 2)^2 + (y - 2)^2 < 1 \} $ eine Potentialfunktion?
c)
Zeigen Sie, dass $ f(x,y)=y \sqrt{x^2+y^2}$ eine Potentialfunktion von $ v$ für das in b) bestimmte $ \alpha$ ist.
d)
Berechnen Sie für $ \alpha=2$ das Integral $ \displaystyle\int\limits_{C_1} v \, dx$ für den Weg
$ C_1: \, x(t)=\cos t, y(t)=\sin t,\; \frac14\pi\le t\le \frac54\pi$.
e)
Der Weg $ C_2$ sei die geradlinige Verbindung von $ P_1=(-1,-1)$ und $ P_2=(1,1)$. Berechnen Sie nun für beliebiges $ \alpha$ das Integral $ \displaystyle\int_{C_2} v \, dx$.
Lösung:
b)
$ \alpha\ =\ $
Welche Bedingung muss noch erfüllt sein?
keine Angabe
Gebiet ist zusammenhängend
Gebiet ist einfach zusammenhängend
Es gibt eine geschlossene glatte Kurve $ K$ mit
$ \displaystyle\int_Kv\dx=0$
$ v$ ist nicht konservativ
d)
$ \displaystyle\int\limits_{C_1} v \, dx\ =\ $ $ \Big/\sqrt{\vphantom{\frac11}}$
e)
$ \displaystyle\int\limits_{C_2} v \, dx\ =\ \alpha+ $ $ \Big/\sqrt{\vphantom{\frac11}}$


   

(Aus: Prüfung HM III Kimmerle H03)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017