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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 421: Autonomes System, Phasen-Differentialgleichungen, erstes Integral

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
a)
Bestimmen Sie für das autonome System

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} x'(t) & = & 1\\ y'(t) & = & y+3z\\ z'(t) & = & 2y+2z \end{array}\end{displaymath}

durch Lösung des Phasen-Differentialgleichungssystems

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \frac{\displaystyle\mathrm{d}y}{\displays... ...athrm{d}z}{\displaystyle\mathrm{d}x} & = & 2y+2z\\ \end{array}\end{displaymath}

ein erstes Integral.
b)
Zeigen Sie: $ v(x,y,z)=\frac{1}{5}e^xy-\frac{1}{5}e^xz$ ist eine Lösung der partiellen Differentialgleichung

$\displaystyle v_x+(y+3z)v_y+(2y+2z)v_z =0\,. $

Bestimmen Sie eine weitere Lösung der partiellen Differentialgleichung, die zu $ v(x,y,z)$ linear unabhängig ist.
Lösung:
a)
Berechnen Sie das charakteristische Polynom des Phasen-Differentialgleichungssystems.
$ \lambda^2\ +\ $ $ \lambda\ +\ $$ \ =\ 0$
Die Eigenwerte sind
$ \lambda_1\ =\ $ $ \quad>\quad\lambda_2\ =\ $
Eigenvektor zu $ \lambda_1$:
$ v_1\ =\ \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{5ex}\right)$
Eigenvektor zu $ \lambda_2$:
$ v_2\ =\ \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
$ 3$
$ \left.\rule{0pt}{5ex}\right)$
Die Lösung des Phasen-Differentialgleichungssystems ist

$\displaystyle \left(\begin{array}{c}y\\ z\end{array}\right)\ =\ B\left(\begin{array}{c}c_1\\ c_2\end{array}\right)$

mit
$ B\ =\ \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \exp\Big($$ x\Big)$          $ \exp\Big($$ x\Big)$
$ \exp\Big($$ x\Big)$          $ \exp\Big($$ x\Big)$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$
Berechnung von $ B^{-1}$.

Berechnen Sie die Determinante von $ B$.

$ \vert B\vert\ =\ $$ \exp\Big($$ x\Big)$
Damit berechnet man die Inverse $ B^{-1}$ mit
$ B^{-1}\ =\ \dfrac{1}{\vert B\vert}\left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \exp\Big($$ x\Big)$          $ \exp\Big($$ x\Big)$
$ \exp\Big($$ x\Big)$          $ \exp\Big($$ x\Big)$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$
Es gilt

$\displaystyle \left(\begin{array}{c}c_1\\ c_2\end{array}\right)\ =\ B^{-1}\left(\begin{array}{c}y\\ z\end{array}\right)$

Das Erste Integral ist folglich:
$ u_1\ =\ $ $ \Big/$$ \exp\Big($ $ x\Big)y\ +\ $ $ \Big/$$ \exp\Big($$ x\Big)z$
$ u_2\ =\ $ $ \Big/$$ \exp\Big($ $ x\Big)y\ -\ $ $ \Big/$$ \exp\Big($$ x\Big)z$


   

(Aus: Prüfung HM III Kimmerle H03)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017