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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 423: Volumenintegral und Satz von Stokes

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Im $ \mathbb{R}^3$ sei der Körper $ M$, der durch den Graph $ S$ der Funktion $ f(x,y) = 3 - (x^2+4y^2) $ und der Ebene $ E$ mit der Gleichung $ z = -1$ eingeschlossen wird, gegeben. Die Kurve $ K$ sei gegeben durch $ S \cap E$.

Das Vektorfeld $ g: \mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}^3$ sei definiert durch

$\displaystyle g: \quad \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}-\frac{1}{2} \sin2y \\ x - x \cos 2y \\ 3z - 2xz\sin 2y \end{pmatrix}.$

$\textstyle \parbox{5cm}{Skizzieren Sie $M$\ :}$

Welche Skizze entspricht $ M$?

 keine Angabe Skizze 1 Skizze 2
   \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bild1} \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bild2}
   Skizze 3 Skizze 4
   \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bild3} \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bild4}

$ \qquad\mathrm{rot} g\ =\ $ $ \Big(\ $ $ xz\cos\big($ $ y\big)\ ,\ $ $ z\sin\big($ $ y\big)\ ,\ $$ \Big)$

$ \qquad\mathrm{div} g\ =\ $

Eine Parametrisierung $ v(t)$ der Kurve $ K$ lautet

keine Angabe    
$ v(t) =\begin{pmatrix}\cos t \\ \sin t \\ t \end{pmatrix}, \quad t\in [0, 2\pi),$ $ v(t) =\begin{pmatrix}\cos t \\ \sin t \\ -1 \end{pmatrix}, \quad t\in [0, 2\pi),$
$ v(t) =\begin{pmatrix}2\cos t \\ \sin t \\ t \end{pmatrix}, \quad t\in [0, 2\pi),$ $ v(t) =\begin{pmatrix}2\cos t \\ \sin t \\ -1 \end{pmatrix}, \quad t\in [0, 2\pi),$

Ergänzen Sie das Dreifach-Integral so, dass es das Volumen von $ M$ beschreibt:

Verwenden Sie dazu folgende Parametrisierung:

$\displaystyle \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\ \tfrac{1}{2}r\sin\varphi\\ z\end{array}\right)$

$ \pi$ $ +$$ r^2$
$ \displaystyle\int$ $ \displaystyle\int$ $ \displaystyle\int$
$ r\Big/$ $ \ dz\ dr\ d\varphi$

Das Volumen von $ M$ ist $ \pi$

$ \iint\limits_{\partial M} g \cdot n\, \mathrm{d}O =$ $ \pi$         $ \iint\limits_{\partial M} \mathrm{rot}g \cdot n\, \mathrm{d}O =$

(Hierbei sei $ n$ der nach außen weisende Normaleneinheitsvektor.)

Schreiben Sie nach dem Satz von Stokes $ \left\vert\int_K g\,\mathrm{d}x\right\vert$ als Oberflächenintegral und berechnen Sie es.

$ \displaystyle\left\vert\int_Kg\ dx\right\vert\ =\ \left\vert\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ \pi$
$ \displaystyle\int$ $ \displaystyle\int$
$ r\Big/$ $ \ dr\ d\varphi \left.\rule{0pt}{10ex}\right\vert \ =\ $$ \pi$

   
(Aus: Prüfung HM III Kimmerle H03)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017