Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]

Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 429: Lineare Abbildung, Grenzwert der Matrixpotenz


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Bestimmen Sie die Matrix $ A$, die den Vektor $ (1, 1)^{\rm {t}}$ invariant lässt und $ (-2, 1)^{\rm {t}}$ auf $ (1, 0)^{\rm {t}}$ abbildet.


Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von $ A$ sowie $ \displaystyle \lim_{n\to\infty} A^n$.

Lösung:

$ A=\frac{1}{3}\left(\rule{0cm}{5ex}\right.$
$ \left)\rule{0cm}{5ex}\right.$
Die Eigenwerte aufsteigend sortiert und auf drei Nachkommastellen gerundet lauten
$ \lambda_1=$ , $ \lambda_2=$
und die zugehörigen Eigenvektoren mit ganzzahligen Einträgen und positiver erster Komponente sind
$ v_1=\left(\rule{0cm}{5ex}\right.$
$ \left)\rule{0cm}{5ex}\right.$   und$ \
v_2=\left(\rule{0cm}{5ex}\right.$
$ \left)\rule{0cm}{5ex}\right.\,.$
Damit ergibt sich
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty} A^n=\frac{1}{4}\left(\rule{0cm}{5ex}\right.$
$ \left)\rule{0cm}{5ex}\right.$


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 2003)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017