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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 435: Typ einer Quadrik mittels Ebenenschnitte


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Bestimmen Sie für die Quadrik

$\displaystyle Q:\, 4x^2+y^2+3z^2-4xy+x+2y=0 $

a)
die Form der Schnittkurve mit der Ebene $ x=\alpha$ in Abhängigkeit von $ \alpha\in\mathbb{R}$
b)
die Hauptachsen
c)
den Typ.
Hinweis: Eine Transformation auf Normalform ist nicht notwendig; der Typ von $ Q$ ergibt sich aus der Form der Schnittkurven.
Antwort:
a)
mit $ \alpha_0=$
$ \alpha<\alpha_0$ : ein Paraboloid die leere Menge ein Punkt eine Ellipse
$ \alpha=\alpha_0$ : ein Paraboloid die leere Menge ein Punkt eine Ellipse
$ \alpha>\alpha_0$ : ein Paraboloid die leere Menge ein Punkt eine Ellipse
b)
Eigenwerte aufsteigend: $ \lambda_1=$ ,     $ \lambda_2=$ ,     $ \lambda_3=$

Eigenvektoren:
$ v_1=\left.\rule{0cm}{5ex}\right($
$ \left)\rule{0cm}{5ex}\right.$ , $ v_2=\left.\rule{0cm}{5ex}\right($
$ \left)\rule{0cm}{5ex}\right.$ , $ v_3=\left.\rule{0cm}{5ex}\right($
$ \left)\rule{0cm}{5ex}\right.$


(in der ersten und dritten Komponente nur positive, ansonsten nur betragsmäßig möglichst kleine ganzzahlige Einträge)
c)
zweischaliges Hyperboloid ,         elliptisches Paraboloid ,         Zylinder .


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 2003)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017