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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 436: Umkehrfunktion in zwei Veränderlichen

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Berechnen Sie für die Funktion

$\displaystyle \varphi: \mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2\,, \quad \varphi... ...right)=\left(\begin{array}{c} u+{\rm {e}}^v\\ v-{\rm {e}}^u\end{array}\right) $

die Jacobi-Matrix $ \varphi'$ sowie die partiellen Ableitungen

$\displaystyle \left(\begin{array}{cc} u_x & u_y \\ v_x & v_y\end{array}\right) $

der Umkehrfunktion $ \varphi^{-1}$ an der Stelle $ (x,y)^{\operatorname t}=(1,-1)^{\operatorname t}=\varphi(0,0)$.


Bestimmen Sie für $ f(x,y):=g(u,v)=2u-3v$ den Wert von $ {\rm {grad}}\,f$ bei $ (x,y)=(1, -1)$.

Lösung:

$ \varphi'(u,v)=\left.\rule{0cm}{5ex}\right($
$ +$ $ {\rm e}^v$ $ u+$ $ {\rm e}^v$
$ v+$ $ {\rm e}^u$ $ +$ $ {\rm e}^u$
$ \left)\rule{0cm}{5ex}\right.$
Die partiellen Ableitungen der Umkehrfunktion an der Stelle $ \varphi(0,0)$ lauten
$ \displaystyle \frac{1}{2}\left.\rule{0cm}{5ex}\right($
$ \left)\rule{0cm}{5ex}\right.$
und der Gradient ist
$ \displaystyle {\rm grad} f \vert _{(x,y)=(1,-1)} = \frac{1}{2}\left.\rule{0cm}{5ex}\right($
$ \left)\rule{0cm}{5ex}\right.$
.


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 2003)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017