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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 438: Komplexe Analysis, Kurvenintegral, Arbeitsintegral

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
a)
Betrachten Sie die komplexe Funktion

$\displaystyle f(z) = z ( {\rm {e}}^{{\rm {i}}z} - {\rm {e}}^{-{\rm {i}}z} ) , \; z = x + {\rm {i}} y \in \mathbb{C} . $

Bestimmen Sie alle Nullstellen von $ f$ und ihre Vielfachheit. Berechnen Sie jeweils den ersten Term der Taylor-Entwicklung von $ f$ um diese Nullstellen.
b)
Berechnen Sie die komplexen Kurvenintegrale

$\displaystyle \int\limits_{\Gamma_k} \frac{1}{f(z)} \, dz \;$    über die positiv orientierten Kurven $\displaystyle \; \Gamma_k : \vert z \vert = \frac{2k+1}{2} \pi , \, k \in \mathbb{N}_0 . $

c)
Bestimmen Sie reelle Funktionen $ u(x,y)$ und $ v(x,y)$ mit $ f(z) = f(x+{\rm {i}}y) = u(x,y) + {\rm {i}} \, v(x,y)$ .
d)
Wie hängt das Vektorfeld $ {\displaystyle{\vec{F} (x,y) = \left( \frac{u}{u^2+v^2}, \frac{v}{u^2+v^2} \right)}}$ mit der Funktion $ {\displaystyle \frac{1}{f}}$ zusammen?
Bestimmen Sie div $ \vec{F}$ und rot $ \vec{F}$ .
e)
Berechnen Sie die Kurvenintegrale      $ {\displaystyle{ \int_C \frac{ u \, dx + v \, dy }{ u^2 + v^2 } \; \mbox{ und } \; \int_C \frac{u \, dy - v \, dx }{ u^2 + v^2 } }}$      über den skizzierten Weg $ C$ .

\includegraphics[width=6cm]{kurve}
f)
Bestimmen Sie ein Potential $ \Phi$ des Vektorfeldes $ \vec{G} (x,y) = (u(x,y), - v(x,y))$ auf $ \mathbb{R}^2$ und berechnen Sie das Arbeitsintegral $ \int_C \vec{G} \cdot d\vec{r}$ für die Verbindungsstrecke $ C$ zwischen den Punkten $ (\frac{\pi}{6},0)$ und $ (\frac{\pi}{2}, 1)$ .


Antwort: (alle Eingaben auf vier Nachkommastellen gerundet):

a)
Nullstellen im Intervall $ [0, 2\pi]$ (aufsteigend sortiert):


$ z_1=$ ,      Vielfachheit
$ z_2=$ ,      Vielfachheit
$ z_3=$ ,      Vielfachheit


$ f(z)$ $ =$ $ {\rm {i}}\,z^\ell$ $ +$ $ O\left(z^m\right)$ ,                 mit $ \ell=$ , $ m=$ ,
$ =$ $ {\rm {i}} k\pi (-1)^k (z-k\pi)+O\left((z-k\pi)^n\right)$ ,         mit $ n=$ .

b)
Wert von      $ {\displaystyle{\int\limits_{\Gamma_k} \frac{1}{f(z)} \, dz}}$     für

$ k=0:$      keine Angabe ,         $ {\rm {i}}$ ,         0 ,         $ -1$
$ k>0:$      keine Angabe ,         0 ,         $ (-1)^k$ ,          $ 2\pi{\rm {i}}k$
       

c)
$ u=-2xAB-2yCD$     und      $ v=2xCD-2yAB$ ,     mit

        keine Angabe
$ A=\cos x, \ B=\sinh y, \ C=\sin x, \ D=\cosh y$
$ A=\sinh y, \ B=\cos y, \ C=\cos x, \ D=\sinh y$
$ A=\sin x, \ B=\cos x, \ C=\cosh y, \ D=\sinh y$

d)
$ {\rm {div}}\,\vec{F}=$ ,          $ {\rm {rot}}\,\vec{F}= \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$
e)
$ {\displaystyle{\int_C \frac{ u \, dx + v \, dy }{ u^2 + v^2 }\, =}}$ ,          $ {\displaystyle{\int_C \frac{u \, dy - v \, dx }{ u^2 + v^2 }\, =}}$ .
f)
Potential $ \Phi=$ $ \cos x\,(yA-B)-$ $ Bx\sin x$ , mit

        keine Angabe
$ A=\cosh y, \ B=\sinh y$
$ A=-\sinh x, \ B=\cosh y$


$ {\displaystyle{\int_C \vec{G} \cdot d\vec{r}=}}$ .


   

(Aus: K. Kirchgässner, Diplomvorprüfung HM III, Herbst 1997)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017