Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 439: Partieller Differentialoperator, Rand- und Anfangswertproblem

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
a)
Bestimmen Sie die Eigenwerte $ \lambda_k$ und die Eigenfunktionen $ \varphi_k$ für den Differentialoperator

$\displaystyle L \varphi = \frac{ \partial^2}{\partial x^2}\,\varphi - 2 \frac{\partial }{ \partial x}\,\varphi $

im Intervall $ [0,1]$ mit den Randbedingungen $ \varphi (0) = \varphi (1) = 0$. Weisen Sie nach, daß

$\displaystyle \left<\varphi_k, \varphi_\ell\right> = \int\limits_0^1 {\rm {e}}^{-2x} \varphi_k (x) \varphi_\ell (x) \,dx = 0 $

für $ k \neq \ell$ gilt, und normieren Sie alle $ \varphi_k$ so, daß $ \left< \varphi_k, \varphi_k\right> = 1$ erfüllt ist.
b)
Bestimmen Sie die Entwicklung der Funktion $ u_0 (x) = x {\rm {e}}^x$ für $ x \in [0,1]$ nach den in a) bestimmten Eigenfunktionen $ \varphi_k$.
c)
Berechnen Sie nun die Lösung des Rand- und Anfangswertproblems

$\displaystyle %\begin{equation*}%\label{3} \frac{\partial u}{\partial t} = \fr... ...l x^2} - 2\,\frac{\partial u}{ \partial x} \; , \ t \geq 0 , \ x \in [0,1] $

mit den Randbedingungen

$\displaystyle %\begin{equation*}%\label{4} u(t,0) = u(t,1) = 0 , \; u(0,x) = u_0 (x) , $

wobei $ u_0$ die Funktion aus b) sei.
Hinweis: Entwickeln Sie die gesuchte Lösung nach den Eigenfunktionen $ \varphi_k$ von $ L$.
d)
Für welche $ t \geq 0$ erhält man eine klassische Lösung, d.h. alle in der Differentialgleichung in c) auftretenden Ableitungen existieren und sind stetig? Wie sieht die Lösung für große $ t$ aus?
e)
Sei nun $ u(t,x)$ die Lösung des Rand- und Anfangswertproblems aus c). Definieren Sie eine neue Funktion $ v(t,y)$ durch die Transformation

$\displaystyle v(t,y) = u(t, \ln y). $

Welches Rand- und Anfangswertproblem löst die Funktion $ v$?


Lösung (alle Eingaben auf vier Nachkommastellen gerundet):

a)
Eigenwerte: $ \lambda_k=$ $ +$ $ k^2$,          $ k\in\mathbb{N}$.


Normierte Eigenfunktionen:


        keine Angabe
$ \varphi_k=cx^k(1-x)^k$
$ \varphi_k=cx\sin\,(k\pi x)$
$ \varphi_k=c{\rm {e}}^x\sin\,(k\pi x)$

mit $ c=$ .

b)
$ {\displaystyle{u_0(x)=\sum_{k=1}^\infty a_k\varphi_k(x)}}$, mit
keine Angabe ,      $ a_k={\displaystyle{\frac{\alpha}{(2k+1)\,\pi}}}$     ,      $ a_k={\displaystyle{\frac{\alpha\,(-1)^{k+1}}{k}}}$      ,      $ a_k={\displaystyle{\alpha\pi\,2^{-k}}}$     

und $ \alpha=$ .

c)
$ u(t,x)=$ $ {\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty}}$
$ {}^k$
$ \underline{\hspace*{2cm}}$
$ k$
$ {\displaystyle{{\rm {e}}^{\beta\lambda_kt}\varphi_k(x),}}$,         mit $ \beta=$ .

d)
Eine klassische Lösung ergibt sich für

keine Angabe ,     $ t \geq 0$      ,     $ t>0$     ,      $ t\geq{\displaystyle{\frac{\pi}{2}}}$     ,      $ \pi<t\leq 2\pi$      .

Für $ t\rightarrow\infty$:      $ u(t,x)\approx$ $ {\displaystyle{{\rm {e}}^{\gamma t}\, \varphi_\kappa (x)}}$,          mit $ \gamma=$     und     $ \kappa=$ .

e)
$ v$ löst
$ v_{t}$ $ =$ $ y^2v_{yy} \ +$ $ yv_{yy} \ +$ $ yv_y \ +$ $ v$
$ v\left(t,1\right)$ $ =$ ,      $ v\left(t,\right.$ $ \left.\right) \ = \ 0$
$ v(0,y)$ $ =$ $ y\,\ln\Bigl($ $ +y\Bigr)$


   

(Aus: K. Kirchgässner, Diplomvorprüfung HM III, Herbst 1997)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017