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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 440: Parameterabhängiges lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung, Stabilität, Phasenporträt

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben seien die Matrix $ A$ und der Vektor $ {f}(t)$ mit

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2r-3 & 1-r \\ 0 & 2+r & -1 \\... ...{\rm {e}}^{-2t} \left( \begin{array}{r} -1 \\ 6 \\ 4 \end{array} \right) \ , $

wobei $ r$ ein reeller Parameter ist.
a)
Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung des homogenen Systems $ u'=Au$.
b)
Für welche $ r$ gibt es nichttriviale Lösungen des homogenen Systems, die für alle $ t\in \mathbb{R}$ beschränkt sind? Geben Sie diese Lösungen an.
c)
Bestimmen Sie die stabile und instabile Mannigfaltigkeit des homogenen Systems für $ r = 1$, $ r = - 1$ und für $ r = 0$ .
d)
Sei nun $ r = - 1$. Zeichnen Sie das Phasenporträt in der stabilen Mannigfaltigkeit. Skizzieren Sie das Phasenporträt im ganzen Raum $ \mathbb{R}^3$.
e)
Berechnen Sie für $ r = 1$ die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems $ u'=Au+f(t)$.


Lösung (alle Eingaben auf vier Nachkommastellen gerundet):

a)
Eigenwerte von $ A$:          $ \lambda_1=$ ,          $ \lambda_{2/3}=$ $ r \ \pm$ $ {\rm {i}}$ .


Allgemeine reelle Lösung des homogenen Problems:

$ u_h(t)=c_1\left(\rule{0pt}{6ex}\right.$



1
$ \underbrace{\qquad\quad}_{\xi}$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)\,{\rm {e}}^{\alpha t} \ + \ c_2\,{\rm {e}}^{\,\beta rt}\left[\left(\rule{0pt}{6ex}\right.\right.$



1
$ \underbrace{\qquad\quad}_{\eta}$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)\,\cos(\omega t+\varphi)-\left(\rule{0pt}{6ex}\right.\right.$



1
$ \underbrace{\qquad\quad}_{\varrho}$
$ \left.\left.\rule{0pt}{6ex}\right)\,\sin(\omega t+\varphi)\right],$



mit $ c_1\in\mathbb{R}\,, \qquad c_2\geq 0\,, \qquad \alpha=$ ,          $ \beta=$ ,         $ \omega=$         und      $ \varphi\in [0, 2\pi)$.
b)
Nichttriviale beschränkte Lösungen existieren für          $ r=$ ,         $ c_1=$ .
c)
  Stabile Mannigfaltigkeit Instabile Mannigfaltigkeit
$ r = 1$
keine Angabe
$ \emptyset$         
span $ \xi$     
keine Angabe
$ \mathbb{R}^3$         
span $ \{\eta, \varrho\}$
$ r = - 1$
keine Angabe
$ \mathbb{R}^3$         
span $ \{\eta, \varrho\}$
keine Angabe
$ \emptyset$         
span $ \xi$     
$ r = 0$
keine Angabe
span $ \eta$     
$ \emptyset$         
keine Angabe
span $ \xi$     
span $ \{\xi, \varrho\}$
d)
Phasenporträt in der stabilen Mannigfaltigkeit:
keine Angabe
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{H97K1A1_bild1.eps} \includegraphics[width=0.4\linewidth]{H97K1A1_bild2.eps}


Phasenporträt im gesamten Raum:
keine Angabe
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{H97K1A1_bild4.eps} \includegraphics[width=0.4\linewidth]{H97K1A1_bild3.eps}
e)
Allgemeine Lösung des inhomogenen Systems:
$ u(t)=u_h(t)+\left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)\,{\rm {e}}^{\gamma t},$
mit $ \gamma=$ .


   

(Aus: K. Kirchgässner, Diplomvorprüfung HM III, Herbst 1997)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017