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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 444: Kurve 3. Ordnung, Polarkoordinaten, Flächenberechnung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei die Kurve $ C: \ x(x^2+y^2)=x^2-y^2$.
a)
$ C$ läßt sich in Polarkoordinaten

$\displaystyle x=r\cos\varphi, \quad y=r\sin\varphi, \quad r\geq 0 $

in der Form $ C: r=p(\varphi)$ parametrisieren. Wie lautet die Funktion $ p=p(\varphi)$, und welchen Bereich durchläuft dabei $ \varphi$?

Hinweis: Überlegen Sie, in welchen Bereichen $ \cos\varphi$ und $ \cos 2\varphi$ das gleiche Vorzeichen haben.

b)
Welcher Wertebereich ergibt sich für die $ x$-Koordinate?
c)
Welche Symmetrieachse besitzt $ C$?
d)
An welchen Punkten besitzt $ C$ eine senkrechte Tangente? Bestimmen Sie die Steigung der Tangenten an die Kurve im Ursprung sowie die Asymptote für $ \varphi\longrightarrow\pm\,\pi/2$. Zeichnen Sie die Kurve.
e)
$ C$ umschließt in der Halbebene $ x\geq 0$ eine Fläche $ F$. Berechnen Sie deren Flächeninhalt.


Lösung (alle Eingaben auf vier Nachkommastellen gerundet):

a)
Parametrisierung:          $ p(\varphi)=$ $ \cos\Bigl($ $ \varphi \ \Bigr)$ $ /$ $ \Bigl(\cos\varphi\ +$ $ \sin\varphi\Bigr)$ .

Definitionsbereich (Intervalle aufsteigend sortiert):

$ \varphi\in\Bigl[$ $ ,$ $ \Bigr) \ \cup \ \Bigl[$ $ ,$ $ \Bigr] \ \cup \ \Bigl($ $ ,$ $ \Bigr]$.
b)
Wertebereich:          $ <x\leq$ .
c)
$ C$ ist achsensymmetrisch keine Angabe
  zur $ x$-Achse     
  zur $ y$-Achse     
  zur ersten Winkelhalbierenden     
  zur Geraden $ x=1$     
d)
Senkrechte Tangente in         $ P=\Bigl($ $ ,$ $ \Bigr)$.

Tangentensteigungen im Ursprung (aufsteigend sortiert):         $ m_1=$ ,         $ m_2=$ .

Asymptote:         keine Angabe ,     $ y=1$ ,     $ y=x$ ,      $ x=0$ ,      $ x=-1$

Zeichnung:
keine Angabe
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{g125_l_bild3.eps} \includegraphics[width=0.4\linewidth]{g125_l_bild2.eps}
e)
Flächeninhalt:         $ \vert F\vert=$ .

   
(Aus: K. Kirchgässner, Diplomvorprüfung HM I-III für phys, Frühjahr 1997)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017