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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 445: Kurven in Polarkoordinaten, Flächen- und Volumenberechnung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Der endliche Bereich $ B$ der $ xy$ -Ebene wird von den Kurven

$\displaystyle C_1: \ x^2+y^2=1 \quad {\mbox{und}} \quad C_2: \ (x^2+y^2)^2-2x(x^2+y^2)-y^2=0 $

begrenzt und enthält die Punkte $ (1,0)$ und $ (2,0)$ als Randpunkte.
a)
Beschreiben Sie beide Kurven mit Hilfe von Polarkoordinaten $ (r,\varphi)$ und skizzieren Sie den Bereich $ B$ .
b)
Berechnen Sie den Flächeninhalt von $ B$ .
c)
Berechnen Sie das Volumen des Körpers

$\displaystyle {\displaystyle{K: \, z\leq\sqrt{x^2+y^2}}}, \ \, (x,y)\in B .$


Antwort:

a)
$ C_1: \quad r=$ ,          $ C_2: \quad r=$ $ +\cos\Bigl($ $ \varphi \ \Bigr) +$ $ \sin\varphi\geq 0$ .

Skizze:
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{g130_l_bild2.eps} \includegraphics[width=0.5\linewidth]{g130_l_bild3.eps}
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{g130_l_bild1.eps} \includegraphics[width=0.5\linewidth]{g130_l_bild4.eps}
b)
c)

   
(Aus: P. A. Lesky, Diplomvorprüfung HM III für aer, bau, kyb, Herbst 1991)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017