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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 449: Parametrisierte Fläche, Normalenvektor, Flächeninhalt

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Im $ \mathbb{R}^3$ ist eine Fläche $ F$ durch die Parameterdarstellung

$\displaystyle x=r\cos\varphi, \quad y=r\sin\varphi, \quad z=\varphi, \qquad 0\leq r\leq 2, \quad 0\leq \varphi\leq \frac{\pi}{2}\,, $

gegeben.
a)
Skizzieren Sie die Fläche.
b)
Geben Sie einen Normalenvektor zu $ F$ im Punkt $ (1,\pi/2)$ an. Zeigen Sie, daß in einem beliebigen Punkt $ (x,y,z)$ der Fläche mit $ 0<r<2$ und $ 0<\varphi<\pi/2$ der Winkel zwischen dem Normalenvektor und der $ z$-Richtung nur von $ r$ abhängt. Die Orientierung des Normalenvektors sei so gewählt, daß die $ z$-Koordinate positiv ist.
c)
Berechnen Sie die Oberfläche des Teiles $ F'$ von $ F$, der innerhalb des Zylinders $ x^2+y^2\leq\sinh^2 a, \ 0<a<1$, liegt.


Lösung (alle Eingaben auf vier Nachkommastellen gerundet):

a)
Skizze:
keine Angabe
\includegraphics[height=0.4\linewidth]{g135_l_bild1.eps} \includegraphics[height=0.4\linewidth]{g135_l_bild2.eps}
b)
Normalenvektor zu $ F$ im Punkt $ (1,\pi/2)$:
$ \vec{n} (1, \pi/2)=\left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right).$
Für den Winkel $ \alpha$ zwischen dem Normalenvektor $ \vec{n} (r, \varphi)$ und der $ z$-Richtung gilt:
$ \cos^2\alpha=$
$ +$ $ r\ +$ $ r^2$
$ \underline{\hspace*{5cm}}$
$ 1\ +$ $ r\ +$ $ r^2$
.
c)
Oberfläche von $ F'$:         $ \vert F'\vert=$ $ a+$ $ \sinh\Bigl($ $ a\Bigr)$.


   

(Aus: P. A. Lesky, Diplomvorprüfung HM III für aer, bau, geod, kyb, mach, met, verf, Herbst 1991)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017