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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 450: Verhalten von Funktionen an Definitionslücken, Uneigentliche Integrale, Taylor

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
a)
Gegeben ist die Funktion

$\displaystyle f(x) =\displaystyle \frac{x}{e^{2x^2} -1} \;$    für $\displaystyle \; x \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} . $

Bestimmen Sie eine Konstante $ c_1$ und ein $ k \in \mathbb{N}$, so daß $ f (x) - c_1 x^{-k}$ eine auf ganz $ \mathbb{R}$ glatte Funktion von $ x$ ist.
b)
Bestimmen Sie eine Funktion $ s(x)$ mit $ f(x) = s(x) + O (x e^{-6 x^2})$ für große $ \vert x\vert$.
c)
Welche der uneigentlichen Integrale

$\displaystyle I_1 = \int_0^1 f(x) \, dx\,, \qquad I_2 = \int_1^{\infty} f(x) \, dx$   und$\displaystyle \quad I_3 =\int_0^{\infty} f(x) \, dx $

existieren?
d)
Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion

$\displaystyle F (x) = \int\limits_x^{\infty} f(t) \, dt \; ,\quad x > 0 . $

Wie verhält sich $ F(x)$ für $ x \rightarrow 0+$? (Hinweis: Verwenden Sie a).)
e)
Begründen Sie, warum die Funktion

$\displaystyle g(x) = \left\{ \begin{array}{cl} {\displaystyle \frac{x^2}{e^{2x^... ...0 \\ [4mm] {\displaystyle \frac{1}{2}} & , \quad x = 0 . \end{array} \right. $

im Nullpunkt stetig ist. Gesucht ist nun eine Funktion $ h(x)$, für die gilt

$\displaystyle e^{h(x)} = g(x) \;$    für alle $\displaystyle \; x \in \mathbb{R} . $

Warum muß $ h(x)$ eine gerade Funktion sein? Berechnen Sie die Koeffizienten der Taylorentwicklung von $ h$ um $ x_0 = 0$ bis zur 4. Ordnung.
Hinweis: Es ist zweckmäßig, die obige Gleichung mit $ e^{-h(0)}$ zu multiplizieren und dann beide Seiten in ihre Taylorreihe um $ x_0 = 0$ zu entwickeln.

Antwort:

a)
$ c_1 = $ ,     $ k = $

b)
$ s(x) = x\, \Bigl( \mathrm{exp}($ $ x^2) + $ $ \mathrm{exp}(-4x^2) \Bigr)$

c)
$ I_1:$ existiert nicht        existiert         $ I_2:$ existiert nicht        existiert
$ I_3:$ existiert nicht        existiert

d)

$ F^\prime(x) = f(x)$          $ F^\prime(x) = -f(x)$          $ F^\prime(x) = 1-f(x)$

e)
$ h(x) = $ $ -$ $ x^2\, - $ $ x^4 + O(x^6)$
(auf zwei Dezimalstellen gerundet)
   
(Kirchgässner HM-Prüfungsaufgabe Herbst 1997)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017