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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 451: Normalform und Typ einer Quadrik mit Parameter

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Bestimmen Sie für die Quadrik

$\displaystyle Q:\, 5x^2 + 4xy + 2y^2 +\alpha z^2 + (\alpha-1)z = 0 $

in Abhängigkeit von einem reellen Parameter $ \alpha$
a)
die Marixform $ x^{\operatorname t}Ax + a^{\operatorname t}x + c = 0$
b)
die Normalform
c)
den Typ
d)
die Koordinaten des Ursprunges des transformierten Koordinatensystems relativ zum ursprünglichen in Abhängigkeit von $ \alpha$.
Skizzieren Sie die Quadriken für $ \alpha = -1$, $ \alpha = 0$ und $ \alpha = \displaystyle \frac{1}{4}$ im neuen Koordinatensystem.
Antwort:
a)
Für $ \alpha = 1$:

$ A = \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$,      $ a = \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$,      $ c= \ $ .            

b)
für $ \alpha = 0$:    $ u^2\, + $ $ v^2\, -\, z =$

für $ \alpha \neq 0$:
$ u^2\, + $ $ v^2\, +\, \Bigl( \alpha\, + $ $ \Bigr) w^2 = \,\Bigl($ $ \alpha\, -1\,\Bigr)^2 / \Bigl($ $ \alpha\, +$ $ \Bigr)$

c)
$ \alpha = 0$:   zweischaliges Hyperboloid Ellipsoid
parabolischer Zylinder elliptisches Paraboloid Punkt
$ \alpha = 1:$   zweischaliges Hyperboloid Ellipsoid
parabolischer Zylinder elliptisches Paraboloid Punkt
$ \alpha > 0 \; (\alpha \neq 1):$   zweischaliges Hyperboloid Ellipsoid
parabolischer Zylinder elliptisches Paraboloid Punkt
$ \alpha < 0:$   zweischaliges Hyperboloid Ellipsoid
parabolischer Zylinder elliptisches Paraboloid Punkt

d)
Für $ \alpha = $     bleibt der Koordinatenursprung unverändert, sonst liegt der Koordinatenursprung des transformierten Koordinatensystems bei

$ x = $         $ y = $          $ z = \Bigl( $ - $ \ \alpha \Bigr) / (2\alpha)$


   
(Kirchgässner HM-Prüfungsaufgabe Herbst 1997)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017