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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 452: Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben seien die von dem reellen Parameter $ t$ abhängige Matrix

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & -1 & 2 & 1\\ 1 & -2 & 1 & 2\\ 1 & 1 &-1 & 2\\ 1 & 2 & 0 & t \end{array} \right)$   und der Vektor$\displaystyle \quad v = \left( \begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ d \end{array} \right). $

a)
Das lineare Gleichungssystem $ A \,x= v$ ist für $ t \ne t_0$ eindeutig lösbar. Bestimmen Sie $ t_0$ .

b)
Welche Beziehung muß zwischen den Komponenten von $ v$ bestehen, damit das lineare Gleichungssystem $ A \,x= v$ für $ t=t_0$ lösbar ist? Geben Sie diese Lösungen an.

c)
Es sei

$\displaystyle N = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right)$

und $ Q = E+N,$ wobei $ E$ die $ 3 \times 3$ -Einheitsmatrix ist.
  1. Warum ist $ Q$ invertierbar?

  2. Berechnen Sie $ N^n$ für beliebiges $ n \in \mathbb{N}$ .
  3. Rechnen Sie nach, daß gilt:      $ Q^{-1} = E-N+ N^2.$

Antwort:

a)
$ t_0 =$
b)
$ a-b+c-d=0$                  $ a+b+c-d=0$                  $ a+b-c-d=0$         

Die Lösung lautet dann

$ x = \dfrac{1}{5} \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
$ a$ $ +$ $ b$ $ +$ $ c$
$ 2a$ $ -$ $ b$ $ +$ $ c$
$ 3a$ $ -$ $ b$ $ +$ $ c$
    0    
$ \left.\rule{0cm}{8ex}\right) + \lambda\left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
5
$ \left.\rule{0cm}{8ex}\right).$        
c)
Summe der Einträge von
$ N^2 =$ ,    $ N^n =$     für $ n \geq 3$

   
(Kirchgässner HM-Prüfungsaufgabe Herbst 1997)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017