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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 457: Matrixdarstellung einer Rekursion, Eigenwerte und Eigenvektoren, Grenzwert

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Betrachten Sie die Folge

$\displaystyle x_0=a\ ,\quad x_1=b\ ,\quad x_n=\frac{x_{n-1}+x_{n-2}}{2} \ ,\quad n=2,\,3,\,\dots $

mit $ a,\,b \in \mathbb{R}$.
a)
Setzt man $ \displaystyle{y_n=(x_{n-1},x_n)^t}$, dann erfüllen die Vektoren $ y_n$ eine Rekursion der Form $ A\,y_n=y_{n+1}$. Bestimmen Sie die Matrix $ A$.

b)
Berechnen Sie die Eigenwerte $ \lambda_1$ und $ \lambda_2$ sowie die zugehörigen Eigenvektoren $ v_1$ und $ v_2$ von $ A$ und transformieren Sie $ A$ auf Diagonalform:

$\displaystyle T^{-1}AT=D. $

c)
Berechnen Sie $ \displaystyle{D^*=\lim_{n \to \infty} D^n}$ und damit $ \displaystyle{y^*=\lim_{n \to \infty} y_n}$. Welchen Grenzwert $ x^*$ besitzt demnach die Folge $ x_n$?

Antwort:
a) $ A=$ $ \frac{1}{2}\left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$
b) $ \lambda_1=$ $ >$ $ \lambda_2=-1/$
$ v_1=$ $ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$,          $ v_2=$ $ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ -$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$
(Einträge als kleinstmögliche natürliche Zahlen)

c) $ D^*=$ $ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$,         $ y^*= $ $ 1/$ $ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ a\,+$ $ b$
$ a\,+$ $ b$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$
$ x^*=(a\,+$ $ b)/$


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 10. März 1992)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 12.  3. 2018