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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 457: Rekursive Folge und Matrizen


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Betrachten Sie die Folge

$\displaystyle x_0=a\ ,\quad
x_1=b\ ,\quad
x_n=\frac{x_{n-1}+x_{n-2}}{2} \ ,\quad
n=2,\,3,\,\dots
$

mit $ a,\,b \in \mathbb{R}$.
a)
Setzt man $ \displaystyle{y_n=(x_{n-1},x_n)^t}$, dann erfüllen die Vektoren $ y_n$ eine Rekursion der Form $ A\,y_n=y_{n+1}$. Bestimmen Sie die Matrix $ A$.

b)
Berechnen Sie die Eigenwerte $ \lambda_1$ und $ \lambda_2$ sowie die zugehörigen Eigenvektoren $ v_1$ und $ v_2$ von $ A$ und transformieren Sie $ A$ auf Diagonalform:

$\displaystyle T^{-1}AT=D.
$

c)
Berechnen Sie $ \displaystyle{D^*=\lim_{n \to \infty} D^n}$ und damit $ \displaystyle{y^*=\lim_{n \to \infty} y_n}$. Welchen Grenzwert $ x^*$ besitzt demnach die Folge $ x_n$?

Antwort:

a)
$ A=$
$ \frac{1}{2}\left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$

b)

$ \lambda_1=$    $ >$      $ \lambda_2=-1/$

$ v_1=$
$ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right),$
$ v_2=$
$ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ -$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$


(Einträge als kleinstmögliche natürliche Zahlen)

c)
$ D^*=$
$ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$,
        $ y^*= $
$ 1/$ $ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ a\,+$ $ b$
$ a\,+$ $ b$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$

$ x^*=(a\,+$$ b)/$


   
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 10. März 1992)

Lösung:


[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017