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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 469: Fluss eines Vektorfelds durch die Oberfläche einer Halbkugel


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Gegeben sei das Vektorfeld $ \vec{F}=(x+y^2,y+z^2,z+x^2)^t$ sowie die Flächen

$\displaystyle S_1:\,\, x^2+y^2+z^2=1,\, z\ge0
$

und

$\displaystyle S_2:\,\, x^2+y^2 \le 1,\, z=0.
$

Die Flächen $ S_1$ und $ S_2$ beranden also zusammen die obere Hälfte der Einheitskugel.
a)
Berechnen Sie die Rotation und die Divergenz des Vektorfelds $ \vec{F}$.
b)
Berechnen Sie den Fluß $ \Phi_2$ von $ \vec{F}$ durch $ S_2$ von unten nach oben.
c)
Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Gauß den Fluß $ \Phi_1$ von $ \vec{F}$ durch $ S_1$ von unten nach oben.

Hinweis: ,,Von unten nach oben`` bedeutet, daß die $ z$-Komponente des Normalenvektors der Fläche $ \ge 0$ sein muß.

Lösung:

a)
$ \operatorname{rot}\vec{F} =$
$ -\left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
z  
x  
y  
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$
$ \operatorname{div} \vec{F} =$

b)
Auf der Fläche $ S_2$ ist
$ \vec{F}(x,y,0)=$
$ \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
$ +y^2$  
 
$ {}^2$  
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$

mit Normalenvektor $ \vec{n}$ ergibt sich: $ \vec{F}(x,y,0)\cdot \vec{n}=$$ {}^2$
$ \Phi_2 =\pi/$
c)
Gesamtfluß $ \Phi=$$ \pi$

$ \Phi_1 =$$ /$$ \pi$ (Bruch vollständig kürzen.)


   
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 10. März 1992)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017