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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 470: Laplace-Transformation eines Anfangswertproblems für eine Schwingungsdifferentialgleichung

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Betrachten Sie das Anfangswertproblem

$\displaystyle u^{\prime\prime}(t) +4 u^\prime(t) +5u(t) =5\,,\quad u(0)=0,\,u^\prime(0)=-1\,. $

a)
In welche Gleichung geht die Differentialgleichung durch eine Laplace-Transformation $ u(t) \mapsto U(s)$ über?
b)
Lösen Sie diese Gleichung nach $ U(s)$ auf.
c)
Bestimmen Sie durch Rücktransformation die Lösung $ u(t)$ des Anfangswertproblems.

Antwort:

a)

$ u(t)$ $ \rightarrow$ $ U(s)$
$ u^{\prime}(t)$ $ \rightarrow$ $ U(s)-$ $ (0)$
$ u^{\prime \prime}(t)$ $ \rightarrow$ $ {}^2U(s) -$ $ (0)-$ $ {}^{\prime}(0)$


$ 1 \rightarrow \frac{1}{s} \Rightarrow ($$ s^2+$$ s+$$ )U(s) =$ $ /s\, -$
b)
$ U(s) =($ $ -$ $ s)/(s(s^2+$$ s+$$ ))$
c)
Partialbruchzerlegung:
$ U(s)=$$ /s\, -($$ s+$$ )/(s^2+$$ s+$$ ) -$$ /(s^2+$$ s+$$ )$

$ u(t) =$ $ -$$ \exp($ $ t) \cos t -$$ \exp($$ t) \sin t$

   
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 10. März 1992)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 12.  3. 2018