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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 472: Fluss durch eine Fläche, Vektorpotential, Parametrisierung der Randkurve, Satz von Stokes

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Gegeben seien ein Vektorfeld

$\displaystyle \vec{F} = \left( \begin{array}{c} 2yz \\ 0 \\ 3x^2+4y^2 \end{array} \right), $

und eine Fläche $ S:\, x^2+4y^2+z^4=4$, $ z\ge0$.
a)
Bestimmen Sie ein Vektorpotential $ \vec{G}=(0,G_2,0)^$t mit $ G_2(0,0,0) = 0$.
b)
Geben Sie eine Parametrisierung $ \varphi \mapsto (p(\varphi),q(\varphi),0)^$t der Randkurve $ C$ von $ S$ an und bestimmen Sie den Tangentenvektor $ \vec{t}(\varphi)$ von $ C$.
c)
Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Stokes den Fluss von $ \vec{F}$ durch $ S$ von unten nach oben.

Antwort:

a)
$ G_2=$ $ x^3+$$ xy^2-$$ yz^2$
b)
$ C(\varphi)=$
$ \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
$ \cos\varphi$  
$ \sin\varphi$  
 
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$
,         $ \vec{t}(\varphi)=$
$ \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
$ \sin\varphi$  
$ \cos\varphi$  
 
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$
c)
$ \vec{G}(\varphi)=$
$ \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
0  
$ \cos^3\varphi+8\cos\varphi\sin^2\varphi$  
0  
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$

$ \vec{G}(\varphi)\cdot \vec{t}(\varphi)=$ $ \cos^2\varphi$
$ \Phi=$ $ \pi$


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 10. März 1992)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 12.  3. 2018