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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 472: Fluss eines Vektorfeldes durch eine Fläche, Satz von Stokes


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Gegeben seien ein Vektorfeld $ \vec{F}$ und eine Fläche $ S$ mit

$\displaystyle \vec{F} = \left( \begin{array}{c} 2yz \\ 0 \\ 3x^2+4y^2
\end{array} \right) , \quad S:\,\, x^2+4y^2+z^4=4,\, z \ge 0 \ .
$

a)
Bestimmen Sie ein Vektorfeld $ \vec{G}$ der Form $ \vec{G}=(0,G_2,0)^t$, für das gilt

$\displaystyle {\rm rot}\, \vec{G} = \vec{F} \quad {\rm und}\quad G_2(0,0,0)=0\ .
$

b)
Geben Sie eine Parametrisierung $ \varphi \mapsto
(p(\varphi),q(\varphi),0)^t$ der Randkurve $ C$ der Fläche $ S$ an und bestimmen Sie den Tangentenvektor $ \vec{t}(\varphi)$ von $ C$.
c)
Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Stokes den Fluß $ \Phi$ des Vektorfelds $ \vec{F}$ durch die Fläche $ S$ von unten nach oben.

Lösung:

a)
$ G_2=$$ x^3+$$ xy^2-$$ yz^2$

b)
$ C(\varphi)=$
$ \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
$ \cos\varphi$  
$ \sin\varphi$  
 
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$
$ \varphi\in[0,2\pi]$


$ \vec{t}(\varphi)=$
$ \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
$ \sin\varphi$  
$ \cos\varphi$  
 
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$

c)
$ \vec{G}(\varphi)=$
$ \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
0  
$ \cos^3\varphi+8\cos\varphi\sin^2\varphi$  
0  
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$


$ \vec{G}(\varphi)\cdot \vec{t}(\varphi)=$ $ \cos^2\varphi$

$ \Phi=$$ \pi$

   
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 10. März 1992)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017