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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 474: Residuum einer rational-trigonometrischen Funktion und Integration über die reelle Achse

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Die skizzierten Wege $ C_1$ und $ C_2$ bilden einen Halbkreis.


\begin{picture}(1,.6)(0,0) \put(0,0){\includegraphics[width=\unitlength]{P389_p... ...t(.14,.04){\makebox(0,0){$-R$}} \put(.82,.04){\makebox(0,0){$R$}} \end{picture}

Bestimmen Sie das Residuum der Funktion

$\displaystyle f(z) = \frac{ z \exp(\text{i} z)}{ (z^2 +1)^2} $

an der Stelle $ z =$   i und berechnen Sie

$\displaystyle I_1=\int_{C_1+C_2} f(z) dz$   und$\displaystyle \qquad I_2=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{ x \sin x}{(x^2 +1)^2} dx $

Hinweis: Benutzen Sie (ohne Beweis): $ \displaystyle \lim_{R \to \infty} \int_{C_2} f(z)\, dz =0 $.

Antwort:
$ \displaystyle\underset{\mathrm{i}}{\operatorname{Res}}\,f=1/($e$ )$
$ I_1 =\pi\mathrm{i}/($e$ )$,          $ I_2 =\pi/($e$ )$


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 10. März 1992)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 26.  3. 2018