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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 475: Potential und Arbeitsintegrale eines trivariaten parameterabhängigen Vektorfeldes

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Gegeben sei das vom reellen Parameter $ \alpha$ abhängige Vektorfeld

$\displaystyle \vec{F}_{\alpha}= \left( \begin{array}{c} y+z+yz \\ x+z+xz+\alpha z^2 \\ x+y+xy \end{array} \right) $

sowie die Kurve $ C:\,\vec{r}(t)=(t,t^2,t^3)$, $ 0\le t\le 1$.
a)
Bestimmen Sie den Parameter $ \alpha = \alpha^*$ so, daß das Vektorfeld $ \vec{F}_{\alpha^*}$ ein Potential $ U(x,y,z)$ mit $ U(0,0,0)=0$ besitzt und bestimmen Sie dieses.
b)
Berechnen Sie $ \displaystyle{E_{\alpha}}=\int_C \vec{F}_{\alpha}\, d\vec{r}$ für $ \alpha = \alpha^*$.
c)
Berechnen Sie $ \displaystyle{E_{\alpha}}$ für ein beliebiges $ \alpha \in \mathbb{R}$.
Hinweis: Zerlegen Sie das Vektorfeld $ \vec{F}_{\alpha}$ so in zwei Summanden, daß Sie das Ergebnis aus Teil b) verwenden können.

Antwort:

a)
$ \alpha^*=$
$ U(x,y,z)=$ $ y+($$ +$$ )z+xyz$ (Werte in alphabetischer Reihenfolge)
b)
$ E_{\alpha^*}=$
c)
$ E_{\alpha}=$ $ +\alpha/$

   
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe (Nachschreibetermin), 31. August 1992)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 12.  3. 2018