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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 475: Arbeitsintegral, Potential


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Gegeben sei das vom reellen Parameter $ \alpha$ abhängige Vektorfeld

$\displaystyle \vec{F}_{\alpha}= \left( \begin{array}{c} y+z+yz \\
x+z+xz+\alpha z^2 \\
x+y+xy \end{array} \right)
$

sowie die Kurve

$\displaystyle C : \vec{r}(t)=\left(\begin{array}{c}
t \\
t^2 \\
t^3
\end{array}\right)\ ,\ 0 \le t \le 1\ .
$

a)
Bestimmen Sie den Parameter $ \alpha = \alpha^*$ so, daß das Vektorfeld $ \vec{F}_{\alpha^*}$ ein Potential $ U(x,y,z)$ mit $ U(0,0,0)=0$ besitzt und bestimmen Sie dieses.

b)
Berechnen Sie $ \displaystyle{E_{\alpha}}=\int_C \vec{F}_{\alpha}\,
d\vec{r}$ für $ \alpha = \alpha^*$.

c)
Berechnen Sie $ \displaystyle{E_{\alpha}}$ für ein beliebiges $ \alpha \in \mathbb{R}$.


Hinweis zu c): Zerlegen Sie das Vektorfeld $ \vec{F}_{\alpha}$ so in zwei Summanden, daß Sie das Ergebnis aus Teil b) verwenden können.

Lösung:

a)
$ \alpha^*=$
$ U(x,y,z)=$$ y+($$ +$$ )z+xyz$ (Werte in alphabetischer Reihenfolge eintragen.)
b)
$ E_{\alpha^*}=$
c)
$ E_{\alpha}=$$ +\alpha/$

   
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe (Nachschreibetermin), 31. August 1992)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017