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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 480: Singuläre Differentialgleichung zweiter Ordnung, Potenzreihenansatz

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Gegeben sei die singuläre analytische Differentialgleichung

$\displaystyle z^2w''(z)-2zw'(z)+(z^2+2)w(z)=0. $

a)
Transformieren Sie die Differentialgleichung auf die Form

$\displaystyle w''(z) +p(z)w'(z) + q(z)w(z) =0 $

und bestimmen Sie die Polstellen von $ p(z) $ und $ q(z)$ und deren Ordnung.

b)
Bestimmen Sie die Lösungen $ \lambda_{1,2} $ der charakteristischen Gleichung .

c)
Sei $ \lambda$ diejenige Lösung der charakteristischen Gleichung mit dem kleineren Realteil und

$\displaystyle w(z)=z^{\lambda}\sum_{k=0}^{\infty} c_k z^k $

die zugehörige Lösung der Differentialgleichung. Geben Sie eine Rekursionsformel für die Koeffizienten $ c_k$ mit $ c_0=1$, $ c_1=0$ an und bestimmen Sie damit die Lösung $ w(z)$ in geschlossener Form.

Lösung:

a)
$ \omega''(z)-2/$ $ \,\omega'(z)+($$ +2)/$ $ \,\omega(z)=0$
(Exponenten in multiplikativer Schreibweise, z.B.: $ z^4=zzzz$)

$ z=$ist Polstelle von $ p(z) $ der Ordnung .
$ z=$ist Polstelle von $ q(z)$ der Ordnung .
b)
$ \lambda_1=$(betragsmäßig kleinerer Wert),         $ \lambda_2=$(betragsmäßig größerer Wert).
c)
$ c_k=$ $ c_{k-2}/(k(k-$$ ))$

$ w(z)=$$ \cos z$

   
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe (Nachschreibetermin), 31. August 1992)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017