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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 481: Gradient, Hesse-Matrix, kritische Punkte, Kettenregel und Taylor-Entwicklung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben seien die Funktionen

$\displaystyle f(u,v) = u^3 + 3uv - v^3 ,\qquad g(x) = \left( \begin{array}{c} \cos(2x) \\ 2 x^2 \end{array} \right) ,\qquad h = f \circ g . $

a)
Geben Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix der Funktion $ f$ an.
b)
Bestimmen Sie alle kritischen Punkte von $ f$ sowie deren Typ.
c)
Geben Sie die Funktion $ h(x)$ explizit an.
d)
Bestimmen Sie für die Funktion $ h$ das Taylor-Polynom vom Grad vier zum Entwicklungspunkt $ x_0=0$.
Hinweis: Sie können die bekannte Taylor-Reihe der Kosinusfunktion verwenden.
e)
Bestimmen Sie die Werte der ersten vier Ableitungen von $ h$ an der Stelle $ x_0=0$. Besitzt $ h$ dort ein lokales Minimum, ein lokales Maximum oder einen Wendepunkt?
Antwort:
a)
$ \operatorname{grad} f = \left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ u^2$ $ +$ $ v$
$ u$ $ -$ $ v^2$
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right) \qquad \operatorname{H} f = \left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ u$
$ v$
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)$

b)
$ \Big($, $ \Big)$:    lokales Maximum         lokales Minimum         Sattelpunkt

$ \Big($, $ \Big)$:    lokales Maximum         lokales Minimum         Sattelpunkt

(aufsteigend sortiert nach $ x$-Koordinate)

c)
$ \cos^3(2x)$ $ +$ $ x^2\cos(2x)x^2$ $ -$ $ x^6$

d)
$ +$ $ x$ $ +$ $ x^2$ $ +$ $ x^3$ $ +$ $ x^4$

e)
$ h^\prime (0) =$      $ h^{\prime\prime} (0) =$      $ h^{\prime\prime\prime} (0) =$      $ h^{(4)} (0) =$

lokales Minimum         lokales Maximum          Wendepunkt

   
(Reif, Prüfungsaufgabe, Herbst 2002)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017