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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 482: Koordinatentransformation, Volumen und Oberfläche einer gelochten Kugel

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Aus einer Halbkugel mit Radius zwei wurde ein zylindrisches Stück mit Radius eins herausgebohrt. Der so entstandene Körper $ K$ ist gegeben durch

$\displaystyle K :\quad \sqrt{x^2+y^2+z^2} \le 2\,,\quad z \ge 0\,,\quad 1 \le \sqrt{x^2+y^2} \le 2\,. $

a)
Skizzieren Sie den Schnitt von $ K$ mit der $ (x,y)$ -Ebene und mit der $ (x,z)$ -Ebene.

b)
Führen Sie in der $ (x,y)$ -Ebene Polarkoordinaten $ (r,\varphi)$ ein und beschreiben Sie den Körper $ K$ mit Hilfe der neuen Variablen $ (r,\varphi,z)$ .

c)
Bestimmen Sie für die Abbildung $ (r,\varphi,z) \to (x,y,z)$ die Funktionalmatrix $ J$ und deren Determinante sowie das Volumen $ V$ von $ K$ .

d)
Parametrisieren Sie denjenigen Teil der Oberfläche von $ K$ , der auf der Halbkugel liegt und berechnen Sie den zugehörigen Flächeninhalt $ F$ .

e)
Berechnen Sie die gesamte Oberfläche von $ K$ .

Antwort:

b)
$ \leq r \leq \Bigl($ $ -\, z^2 \Bigr)^{1/2}$ ,      $ \leq \varphi \leq $ $ \pi$ ,      $ \leq z \leq $ $ ^{1/2}$

c)
$ \vert J\vert = \,$ $ r$ $ +$ $ r^2\,\sin\varphi$ $ +$ $ r\,\cos\varphi$ ,        $ V=$

d)
$ F=$

e)
(auf zwei Dezimalstellen gerundet)
   
(Reif, Prüfungsaufgabe, Herbst 2002)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017