Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Interaktive Aufgabe 483: Potential, Arbeitsintegral, Fluss

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	Interaktive Aufgabe 483: Potential, Arbeitsintegral, Fluss

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Gegeben seien das Vektorfeld $\vec{F}$

$\displaystyle \vec{F} = \left( \begin{array}{c} y^{\alpha} \\ 2xy \end{array} \right)$

und der Weg

$\displaystyle C: \quad t \to \vec{r}(t) = \left( \begin{array}{c} t^2 \\ t e^{t-1} \end{array} \right) \, ,$

sowie das Dreieck

mit den Eckpunkten

und

a): Bestimmen Sie den Ort $\vec{r}(t)$ sowie den Ableitungsvektor $\vec{r}^{\,\prime}(t)$ an den Stellen und . Skizzieren Sie damit die von erzeugte Kurve zwischen $\vec{r}(0)$ und $\vec{r}(1)$ .
b): Bestimmen Sie den Parameter $\alpha \in \mathbb{R}^+$ so, dass $\vec{F}$ ein Potenzial besitzt und berechnen Sie dieses.
c): Berechnen Sie für den in Teil b) bestimmten Wert von $\alpha$ das Arbeitsintegral von $\vec{F}$ entlang des Weges .
d): Sei nun $\alpha = 1$ . Berechnen Sie den Fluss von $\vec{F}$ durch den Rand von von innen nach außen, indem Sie das Flussintegral direkt auswerten.
e): Berechnen Sie das Flussintegral aus Teil d) nochmals mit Hilfe des Integralsatzes in der Ebene.

Lösung:

a)

$\vec{r}(0) = \left(\rule{0cm}{5ex}\right.$

$\left.\rule{0cm}{5ex}\right)$ , $\vec{r}(1) = \left(\rule{0cm}{5ex}\right.$

$\left.\rule{0cm}{5ex}\right)$

$\vec{r}^{\,\prime}(0) = \left(\rule{0cm}{5ex}\right.$

$\left.\rule{0cm}{5ex}\right)$ , $\vec{r}^{\,\prime}(1) = \left(\rule{0cm}{5ex}\right.$

$\left.\rule{0cm}{5ex}\right)$