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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 483: Potential, Arbeitsintegral, Fluss


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Gegeben seien das Vektorfeld $ \vec{F}$


$\displaystyle \vec{F} =
\left(
\begin{array}{c}
y^{\alpha} \\ 2xy
\end{array}
\right)
$

und der Weg

$\displaystyle C: \quad
t \to \vec{r}(t) =
\left(
\begin{array}{c}
t^2 \\ t e^{t-1}
\end{array}
\right)
\, ,
$

sowie das Dreieck $ D$ mit den Eckpunkten $ (0,0), (1,0)$ und $ (0,1)$.

a)
Bestimmen Sie den Ort $ \vec{r}(t)$ sowie den Ableitungsvektor $ \vec{r}^{\,\prime}(t)$ an den Stellen $ t=0$ und $ t=1$. Skizzieren Sie damit die von $ C$ erzeugte Kurve zwischen $ \vec{r}(0)$ und $ \vec{r}(1)$.

b)
Bestimmen Sie den Parameter $ \alpha \in \mathbb{R}^+$ so, dass $ \vec{F}$ ein Potenzial besitzt und berechnen Sie dieses.

c)
Berechnen Sie für den in Teil b) bestimmten Wert von $ \alpha$ das Arbeitsintegral von $ \vec{F}$ entlang des Weges $ C$.

d)
Sei nun $ \alpha = 1$. Berechnen Sie den Fluss von $ \vec{F}$ durch den Rand von $ D$ von innen nach außen, indem Sie das Flussintegral direkt auswerten.

e)
Berechnen Sie das Flussintegral aus Teil d) nochmals mit Hilfe des Integralsatzes in der Ebene.

Lösung:

a)

$ \vec{r}(0) = \left(\rule{0cm}{5ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{5ex}\right)$ ,      $ \vec{r}(1) = \left(\rule{0cm}{5ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{5ex}\right)$
$ \vec{r}^{\,\prime}(0) = \left(\rule{0cm}{5ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{5ex}\right)$ ,      $ \vec{r}^{\,\prime}(1) = \left(\rule{0cm}{5ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{5ex}\right)$

(Werte ggf. auf 2 Nachkommastellen gerundet angeben.)

b)
$ \vec{F}$ besitzt ein Potential für $ \alpha =$ .

c)
Der Wert des Arbeitsintegrals ist .

d)
Der Fluss durch die Strecke von $ (0,0)$ nach $ (1,0)$ beträgt .
Der Fluss durch die Strecke von $ (1,0)$ nach $ (0,1)$ beträgt .
Der Fluss durch die Strecke von $ (0,1)$ nach $ (0,0)$ beträgt .

(Werte ggf. auf 2 Nachkommastellen gerundet angeben.)

e)
Der Wert des Flußintegrals beträgt .

(Wert auf zwei Nachkommastellen gerundet angeben.)


   
(Reif, Prüfungsaufgabe, Herbst 2002)

siehe auch:


  automatisch erstellt am 10.  8. 2017